(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
a(\vec{A} pm \vec{B})=a \vec{A} pm a \vec{B}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade
a(\vec{A}\pm\vec{B})=a\vec{A}\pm a\vec{B},
onde a é um número real. Informações dadas:
  • a é um escalar real.
  • \vec{A} e \vec{B} são vetores (em \mathbb{R}^n, não é necessário fixar n).
  • É necessário mostrar que a igualdade vale (ou não) para qualquer a,\vec{A},\vec{B}.

Passo 2

Definir notação indicial e o que significa igualdade de vetores. Para cada vetor, escrevemos suas componentes usando índices:
\vec{A}\mapsto A_i,\qquad \vec{B}\mapsto B_i,
onde i percorre 1,2,\dots,n. Lembrar que dois vetores são iguais se, e somente se, todas as suas componentes forem iguais, isto é, \vec{X}=\vec{Y} se \forall i:\\ X_i=Y_i.

Passo 3

Escrever as componentes da soma (ou subtração) dos vetores. Pela definição componente a componente,
(\vec{A}\pm\vec{B})_i = A_i \pm B_i.
Isto é apenas a declaração de que soma/subtração vetorial é feita componente a componente.

Passo 4

Aplicar a multiplicação escalar às componentes do lado esquerdo da identidade. Pegando a componente i do vetor a(\vec{A}\pm\vec{B}) obtemos
\bigl(a(\vec{A}\pm\vec{B})\bigr)_i = a\,(\vec{A}\pm\vec{B})_i.
Substituindo a expressão do passo anterior:
\bigl(a(\vec{A}\pm\vec{B})\bigr)_i = a\,(A_i \pm B_i).

Passo 5

Usar distributividade do produto em relação à soma/subtração nos números reais. Como a é um número real, vale para cada componente
a\,(A_i \pm B_i)=aA_i \pm aB_i.
Portanto
\bigl(a(\vec{A}\pm\vec{B})\bigr)_i = aA_i \pm aB_i.

Passo 6

Reconhecer o lado direito como as componentes do vetor a\vec{A}\pm a\vec{B}. De fato,
(a\vec{A}\pm a\vec{B})_i = (a\vec{A})_i \pm (a\vec{B})_i = aA_i \pm aB_i.
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que para todo índice i
\bigl(a(\vec{A}\pm\vec{B})\bigr)_i = (a\vec{A}\pm a\vec{B})_i.
Como todas as componentes coincidem, os vetores são iguais:
a(\vec{A}\pm\vec{B})=a\vec{A}\pm a\vec{B}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido só para firmar a intuição. Tome a=2, \vec{A}=(1,2,3), \vec{B}=(4,-1,0).
Calcular o lado esquerdo:
\vec{A}+\vec{B}=(1+4,\;2+(-1),\;3+0)=(5,1,3),
2(\vec{A}+\vec{B})=(10,2,6).
Calcular o lado direito:
2\vec{A}=(2,4,6),\qquad 2\vec{B}=(8,-2,0),
2\vec{A}+2\vec{B}=(2+8,\;4+(-2),\;6+0)=(10,2,6).
Os dois lados coincidem componente a componente, confirmando na prática.

Passo 8

Comentário final e motivação rápida: o que fizemos foi usar a definição componente a componente da soma/subtração de vetores e a propriedade distributiva do produto em \mathbb{R}. Essas são as razões básicas pelas quais a identidade vale para qualquer escalar real a e quaisquer vetores \vec{A},\vec{B}. Força nos estudos — essa propriedade é uma das regras básicas de espaços vetoriais e aparece sempre em exercícios, então decorar a argumentação por componentes ajuda bastante na prova!

Resposta

Válida: a(\vec{A}\pm\vec{B})=a\vec{A}\pm a\vec{B}.

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