(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade
onde
é um número real. Informações dadas:
-
é um escalar real. -
e são vetores (em , não é necessário fixar ). - É necessário mostrar que a igualdade vale (ou não) para qualquer
.
Passo 2
Definir notação indicial e o que significa igualdade de vetores. Para cada vetor, escrevemos suas componentes usando índices:
onde
percorre
. Lembrar que dois vetores são iguais se, e somente se, todas as suas componentes forem iguais, isto é,
se
.
Passo 3
Escrever as componentes da soma (ou subtração) dos vetores. Pela definição componente a componente,
Isto é apenas a declaração de que soma/subtração vetorial é feita componente a componente.
Passo 4
Aplicar a multiplicação escalar às componentes do lado esquerdo da identidade. Pegando a componente
do vetor
obtemos
Substituindo a expressão do passo anterior:
Passo 5
Usar distributividade do produto em relação à soma/subtração nos números reais. Como
é um número real, vale para cada componente
Portanto
Passo 6
Reconhecer o lado direito como as componentes do vetor
. De fato,
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que para todo índice
Como todas as componentes coincidem, os vetores são iguais:
Passo 7
Exemplo numérico rápido só para firmar a intuição. Tome
,
,
.
Calcular o lado esquerdo:
Calcular o lado esquerdo:
Calcular o lado direito:
Os dois lados coincidem componente a componente, confirmando na prática.
Passo 8
Comentário final e motivação rápida: o que fizemos foi usar a definição componente a componente da soma/subtração de vetores e a propriedade distributiva do produto em
. Essas são as razões básicas pelas quais a identidade vale para qualquer escalar real
e quaisquer vetores
. Força nos estudos — essa propriedade é uma das regras básicas de espaços vetoriais e aparece sempre em exercícios, então decorar a argumentação por componentes ajuda bastante na prova!
Resposta
Válida:
.