(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre a identidade abaixo (a soma é sobre
e
variando de
a
):
Informações fornecidas / o que temos de usar:
-
é o tensor de Levi-Civita em três dimensões (valores ). -
é a delta de Kronecker ( para , para ). - A soma é explícita em
e . O objetivo é calcular essa soma para índices fixos e e identificar o resultado.
Passo 2
Definições e propriedade básicas (vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
- O tensor de Levi-Civita
Exemplos:
,
. - A delta de Kronecker
vale - Observação importante sobre
só pode ser diferente de zero quando
e são os dois índices distintos restantes no conjunto , em alguma ordem. Para cada escolha de existem exatamente duas ordens que tornam não nulo.]
Passo 3
Calculemos a soma quando
. Defina
Para
temos
Agora,
vale
quando
e vale
quando
. Para cada
existem exatamente duas combinações ordenadas
que tornam
diferente de zero (essas duas combinações são as duas ordens dos outros dois índices). Logo o número de termos iguais a
em
é
. Portanto
Isto é consistente com
.
Passo 4
Calculemos a soma quando
. Ainda com
considere índices fixos
. Para que um termo
seja não nulo é necessário que
(isto é,
e
sejam os dois índices diferentes de
, em alguma ordem). Analogamente, para que
seja não nulo é necessário que
.
Mas se
as duas conjuntos
e
são diferentes: cada um deles é um conjunto com dois elementos, e a interseção desses dois conjuntos tem apenas um elemento (o índice que não é nem
nem
). Como
exige dois índices distintos para ser não zero, NÃO existe par
com os dois índices distintos que pertençam simultaneamente a ambos os conjuntos. Assim, para todo par
pelo menos um entre
e
é zero, o que implica que o produto
é sempre zero. Portanto
Exemplo concreto para fixar a intuição: para
temos
apenas nos pares
e
; para
temos
apenas nos pares
e
. Não há par comum, logo todos os produtos são zero.
Passo 5
Juntando os resultados dos Passos 3 e 4:
- Se
então . - Se
então .
Isso pode ser escrito de forma compacta usando a delta de Kronecker: