(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
\sum_{i j}^{3} \epsilon_{p i j} \epsilon_{q i j}=2 \delta_{p q}

Passo 1

O enunciado pede que se mostre a identidade abaixo (a soma é sobre i e j variando de 1 a 3):
\sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{q i j}=2\,\delta_{p q}.
Informações fornecidas / o que temos de usar:
  • \epsilon_{ijk} é o tensor de Levi-Civita em três dimensões (valores 0,\pm1).
  • \delta_{pq} é a delta de Kronecker ( 1 para p=q, 0 para p\neq q).
  • A soma é explícita em i e j. O objetivo é calcular essa soma para índices fixos p e q e identificar o resultado.

Passo 2

Definições e propriedade básicas (vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
  • O tensor de Levi-Civita \epsilon_{i j k}\) é definido por \[\epsilon_{i j k}= \begin{cases} +1, & \text{se }(i,j,k)\text{ é uma permutação par de }(1,2,3),\\[4pt] -1, & \text{se }(i,j,k)\text{ é uma permutação ímpar de }(1,2,3),\\[4pt] 0, & \text{se quaisquer dois índices são iguais.} \end{cases}Exemplos: \epsilon_{123}=+1\], \[\epsilon_{132}=-1, \epsilon_{112}=0.
  • A delta de Kronecker \delta_{p q} vale \delta_{p q}= \begin{cases} 1, & \text{se }p=q,\\[4pt] 0, & \text{se }p\neq q. \end{cases}
  • Observação importante sobre \epsilon\]: para índices fixos, \(\epsilon_{p i j} só pode ser diferente de zero quando i e j são os dois índices distintos restantes no conjunto \{1,2,3\}\setminus\{p\}, em alguma ordem. Para cada escolha de p existem exatamente duas ordens (i,j) que tornam \epsilon_{p i j} não nulo.]

Passo 3

Calculemos a soma quando p=q. Defina
S_{p q}:=\sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{q i j}.
Para p=q temos
S_{p p}=\sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{p i j}=\sum_{i j=1}^{3} \big(\epsilon_{p i j}\big)^{2}.
Agora, \big(\epsilon_{p i j}\big)^{2} vale 0 quando \epsilon_{p i j}=0 e vale 1 quando \epsilon_{p i j}=\pm1. Para cada p existem exatamente duas combinações ordenadas (i,j) que tornam \epsilon_{p i j} diferente de zero (essas duas combinações são as duas ordens dos outros dois índices). Logo o número de termos iguais a 1 em \sum (\epsilon_{p i j})^{2} é 2. Portanto
S_{p p}=2.
Isto é consistente com 2\,\delta_{p p}=2\cdot 1=2.

Passo 4

Calculemos a soma quando p\neq q. Ainda com
S_{p q}=\sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{q i j},
considere índices fixos p\neq q. Para que um termo \epsilon_{p i j} seja não nulo é necessário que \{i,j\}=\{1,2,3\}\setminus\{p\} (isto é, i e j sejam os dois índices diferentes de p, em alguma ordem). Analogamente, para que \epsilon_{q i j} seja não nulo é necessário que \{i,j\}=\{1,2,3\}\setminus\{q\}.
Mas se p\neq q as duas conjuntos \{1,2,3\}\setminus\{p\} e \{1,2,3\}\setminus\{q\} são diferentes: cada um deles é um conjunto com dois elementos, e a interseção desses dois conjuntos tem apenas um elemento (o índice que não é nem p nem q). Como \epsilon exige dois índices distintos para ser não zero, NÃO existe par (i,j) com os dois índices distintos que pertençam simultaneamente a ambos os conjuntos. Assim, para todo par (i,j) pelo menos um entre \epsilon_{p i j} e \epsilon_{q i j} é zero, o que implica que o produto \epsilon_{p i j}\epsilon_{q i j} é sempre zero. Portanto
S_{p q}=0\quad\text{quando }p\neq q.
Exemplo concreto para fixar a intuição: para p=1 temos \epsilon_{1 i j}\neq0 apenas nos pares (2,3) e (3,2); para q=2 temos \epsilon_{2 i j}\neq0 apenas nos pares (1,3) e (3,1). Não há par comum, logo todos os produtos são zero.

Passo 5

Juntando os resultados dos Passos 3 e 4:
  • Se p=q então S_{p q}=2.
  • Se p\neq q então S_{p q}=0.
Isso pode ser escrito de forma compacta usando a delta de Kronecker:
\sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{q i j}=2\,\delta_{p q}.

Resposta

\displaystyle \sum_{i j=1}^{3} \epsilon_{p i j}\,\epsilon_{q i j}=2\,\delta_{p q}

Exercícios relacionados