(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
\sum_{k}^{3} \epsilon_{i j k} \epsilon_{p q k}=\delta_{p i} \delta_{q j}-\delta_{p j} \delta_{q i}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{i j k}\, \epsilon_{p q k}=\delta_{p i}\,\delta_{q j}-\delta_{p j}\,\delta_{q i},
onde i,j,p,q são índices que variam em \{1,2,3\}.
Informações dadas (que usaremos): definição da delta de Kronecker e do tensor de Levi-Civita:
  • \delta_{ab}=1 se a=b e \delta_{ab}=0 se a\neq b.
  • \epsilon_{abc}=0 se dois índices iguais; \epsilon_{abc}=+1 se (a,b,c) é uma permutação par de (1,2,3); \epsilon_{abc}=-1 se for permutação ímpar.

Passo 2

Explicar propriedades úteis (sem ainda provar a identidade):
  • \epsilon_{ijk} é não nulo somente quando i,j,k são todos distintos. Nesse caso existe exatamente um valor de k (chamemos de r) que é diferente de i e j; para esse k=r temos \epsilon_{ijr}=\pm 1.
  • Produto de deltas: \delta_{pi}\delta_{qj} vale 1 somente quando p=i e q=j; caso contrário vale 0.
    Essas observações serão usadas para analisar termo a termo a soma sobre k.

Passo 3

Estratégia de prova (passo a passo): faremos uma análise por casos sobre os índices:
  1. casos triviais quando i=j ou p=q,
  2. caso geral com i\neq j e p\neq q, em que introduzimos o único índice r distinto de i,j e o único índice s distinto de p,q. Mostraremos que a soma em k é não nula só se o conjunto \{i,j\} coincidir com \{p,q\}, e então verificaremos os dois subcasos (ordens iguais ou trocadas).

Passo 4

Caso 1: se i=j (ou, simetricamente, p=q).
Como \epsilon_{ijk}=0 sempre que dois índices coincidem, para i=j temos \epsilon_{ijk}=0 para todo k, logo
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=0.
No lado direito,
\delta_{p i}\delta_{q j}-\delta_{p j}\delta_{q i} = \delta_{p i}\delta_{q i}-\delta_{p i}\delta_{q i}=0.
Portanto a identidade vale quando i=j (e pela simetria também quando p=q).

Passo 5

Caso 2: [i\neq j) e p\neq q.
Para índices distintos i e j existe um único r\in\{1,2,3\} tal que r\neq i e r\neq j. Para esse r temos \epsilon_{ijr}=\pm 1 e para k\neq r temos \epsilon_{ijk}=0. Analogamente existe um único s distinto de p,q com \epsilon_{pqs}=\pm 1 e \epsilon_{pqk}=0 para k\neq s.
Assim, na soma sobre k só há, potencialmente, contributions quando k=r e/ou k=s. Concretamente
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}= \begin{cases} \epsilon_{ijr}\epsilon_{pqr}, & \text{se } r=s,\\[4pt] 0, & \text{se } r\neq s. \end{cases}
Em termos de conjuntos: r=s\] ocorre exatamente quando o conjunto não-orientado \(\{i,j\} coincide com \{p,q\}. Se \{i,j\}\neq\{p,q\} então os índices complementares são diferentes e a soma é zero.]

Passo 6

Avaliar o lado direito quando \{i,j\}\neq\{p,q\}.
Para que \delta_{p i}\delta_{q j}=1 é necessário p=i e q=j. Para que \delta_{p j}\delta_{q i}=1 é necessário p=j e q=i. Se \{i,j\}\neq\{p,q\} nenhuma dessas igualdades ocorre, logo ambos os produtos de deltas são 0 e
\delta_{p i}\delta_{q j}-\delta_{p j}\delta_{q i}=0.
Isso coincide com o resultado anterior (soma igual a 0) no caso r\neq s. Portanto a identidade vale sempre quando \{i,j\}\neq\{p,q\}.

Passo 7

Agora o caso \{i,j\}=\{p,q\}. Há duas subopções:
  • Subcaso A: p=i e q=j. Então os complementares coincidem ( r=s) e
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=\epsilon_{ijr}\epsilon_{ijr}=(\epsilon_{ijr})^{2}=1,
pois \epsilon_{ijr}=\pm 1. No lado direito,
\delta_{p i}\delta_{q j}-\delta_{p j}\delta_{q i}=1\cdot 1-0\cdot 0=1.
  • Subcaso B: p=j e q=i (as ordens trocadas). Então r=s também, e
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=\epsilon_{ijr}\epsilon_{jir}=\epsilon_{ijr}(-\epsilon_{ijr})=-1,
porque \epsilon_{jir}=-\epsilon_{ijr}. No lado direito,
\delta_{p i}\delta_{q j}-\delta_{p j}\delta_{q i}=0\cdot 0-1\cdot 1=-1.
Em ambos os subcasos a soma coincide com a diferença de deltas.

Passo 8

Concluímos pelos casos cobridos que para quaisquer índices i,j,p,q\in\{1,2,3\} vale
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{p q k}=\delta_{p i}\,\delta_{q j}-\delta_{p j}\,\delta_{q i}.

Resposta

\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{p q k}=\delta_{p i}\,\delta_{q j}-\delta_{p j}\,\delta_{q i}

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