(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
onde
são índices que variam em
.
Informações dadas (que usaremos): definição da delta de Kronecker e do tensor de Levi-Civita:
Informações dadas (que usaremos): definição da delta de Kronecker e do tensor de Levi-Civita:
-
se e se . -
se dois índices iguais; se é uma permutação par de ; se for permutação ímpar.
Passo 2
Explicar propriedades úteis (sem ainda provar a identidade):
-
é não nulo somente quando são todos distintos. Nesse caso existe exatamente um valor de (chamemos de ) que é diferente de e ; para esse temos . - Produto de deltas:
vale somente quando e ; caso contrário vale .
Essas observações serão usadas para analisar termo a termo a soma sobre.
Passo 3
Estratégia de prova (passo a passo): faremos uma análise por casos sobre os índices:
- casos triviais quando
ou , - caso geral com
e , em que introduzimos o único índice distinto de e o único índice distinto de . Mostraremos que a soma em é não nula só se o conjunto coincidir com , e então verificaremos os dois subcasos (ordens iguais ou trocadas).
Passo 4
Caso 1: se
(ou, simetricamente,
).
Como sempre que dois índices coincidem, para
temos
para todo
, logo
Como
No lado direito,
Portanto a identidade vale quando
(e pela simetria também quando
).
Passo 5
Caso 2: [i\neq j) e
.
Para índices distintos e
existe um único
tal que
e
. Para esse
temos
e para
temos
. Analogamente existe um único
distinto de
com
e
para
.
Para índices distintos
Assim, na soma sobre
só há, potencialmente, contributions quando
e/ou
. Concretamente
Em termos de conjuntos:
coincide com
. Se
então os índices complementares são diferentes e a soma é zero.]
Passo 6
Avaliar o lado direito quando
.
Para que é necessário
e
. Para que
é necessário
e
. Se
nenhuma dessas igualdades ocorre, logo ambos os produtos de deltas são
e
Para que
Isso coincide com o resultado anterior (soma igual a
) no caso
. Portanto a identidade vale sempre quando
.
Passo 7
Agora o caso
. Há duas subopções:
- Subcaso A:
e . Então os complementares coincidem ( ) e
pois
. No lado direito,
- Subcaso B:
e (as ordens trocadas). Então também, e
porque
. No lado direito,
Em ambos os subcasos a soma coincide com a diferença de deltas.
Passo 8
Concluímos pelos casos cobridos que para quaisquer índices
vale