(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede verificar a identidade
Informações fornecidas:
-
é um vetor arbitrário (componentes reais). - Foi dito que
é um número real, mas essa constante não é necessária para esta verificação.
A tarefa é mostrar, usando notação indicial, que cada componente do produto vetorialé zero.
Passo 2
Vou lembrar a definição indicial do produto vetorial e as convenções que vou usar:
- Pelo formalismo indicial com convenção de soma de Einstein,
onde
é o símbolo de Levi-Civita (oupsilon de Levi-Civita).
- O símbolo
tem as propriedades principais: -
se algum par de índices é igual; -
muda de sinal quando troca-se dois índices (é antissimétrico): .
-
- A soma sobre índices repetidos é implícita:
e variam em e são somados.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
, obtemos a componente
-ésima
Aqui
é um produto simétrico em
e
, ou seja, trocar
por
não altera
:
.
Passo 4
Usando a antissimetria de
e trocando os nomes das somas dummys
, escrevo a mesma componente como
Pelo fato de
e de
, segue
Passo 5
Da igualdade
segue que
para cada componente
. Como todas as componentes são zero, o vetor é o vetor nulo.
Passo 6
Interpretação geométrica (curta e útil para lembrar na prova): o vetor
é paralelo a si mesmo, então o ângulo entre os dois vetores é
e a magnitude do produto vetorial
. Outra visão: na expressão de determinante para o produto vetorial, duas colunas iguais tornam o determinante zero.