(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
\vec{A} \times \vec{A}=0

Passo 1

O enunciado pede verificar a identidade
\vec{A}\times\vec{A}=0.
Informações fornecidas:
  • \vec{A} é um vetor arbitrário (componentes reais).
  • Foi dito que a é um número real, mas essa constante não é necessária para esta verificação.
    A tarefa é mostrar, usando notação indicial, que cada componente do produto vetorial \vec{A}\times\vec{A} é zero.

Passo 2

Vou lembrar a definição indicial do produto vetorial e as convenções que vou usar:
  • Pelo formalismo indicial com convenção de soma de Einstein,
(A\times B)_i = \varepsilon_{ijk}\,A_j\,B_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (oupsilon de Levi-Civita).
  • O símbolo \varepsilon_{ijk} tem as propriedades principais:
    • \varepsilon_{ijk}=0 se algum par de índices é igual;
    • \varepsilon_{ijk} muda de sinal quando troca-se dois índices (é antissimétrico): \varepsilon_{ikj}=-\varepsilon_{ijk}.
  • A soma sobre índices repetidos é implícita: j e k variam em \{1,2,3\} e são somados.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso \vec{A}\times\vec{A}, obtemos a componente i-ésima
(A\times A)_i = \varepsilon_{ijk}\,A_j\,A_k.
Aqui A_jA_k é um produto simétrico em j e k, ou seja, trocar j por k não altera A_jA_k: A_jA_k = A_kA_j.

Passo 4

Usando a antissimetria de \varepsilon_{ijk} e trocando os nomes das somas dummys j\leftrightarrow k, escrevo a mesma componente como
(A\times A)_i = \varepsilon_{ikj}\,A_k\,A_j.
Pelo fato de \varepsilon_{ikj}=-\varepsilon_{ijk} e de A_kA_j=A_jA_k, segue
(A\times A)_i = -\varepsilon_{ijk}\,A_j\,A_k = - (A\times A)_i.

Passo 5

Da igualdade (A\times A)_i = - (A\times A)_i segue que
2\,(A\times A)_i = 0 \quad\Rightarrow\quad (A\times A)_i = 0
para cada componente i=1,2,3. Como todas as componentes são zero, o vetor é o vetor nulo.

Passo 6

Interpretação geométrica (curta e útil para lembrar na prova): o vetor \vec{A} é paralelo a si mesmo, então o ângulo entre os dois vetores é 0 e a magnitude do produto vetorial |\vec{A}\times\vec{A}|=|\vec{A}|\,|\vec{A}|\sin 0 =0. Outra visão: na expressão de determinante para o produto vetorial, duas colunas iguais tornam o determinante zero.

Resposta

\vec{0}

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