(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A} cdot \vec{C})-\vec{C}(\vec{A} cdot \vec{B})

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar sem perguntar nada:
  • \vec{A},\vec{B},\vec{C} são vetores em \mathbb{R}^3.
  • Foi mencionado que a é um número real, mas essa constante não aparece na identidade; portanto não é necessária para a verificação.
  • Objetivo: mostrar que os dois vetores (lado esquerdo e direito) coincidem componente a componente, usando notação indicial.

Passo 2

Vou explicar a notação indicial e as ferramentas que usarei (tudo bem mastigado).
  • Componentes: escrevo as componentes dos vetores como A_i, B_i, C_i, onde i=1,2,3. Por exemplo, \vec{A}=(A_1,A_2,A_3).
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre 1,2,3. Ex.: A_i B_i = \sum_{i=1}^3 A_i B_i = \vec{A}\cdot\vec{B}.
  • Produto vetorial em componentes: a i-ésima componente de \vec{X}\times\vec{Y} é dada por
(\vec{X}\times\vec{Y})_i=\varepsilon_{ijk}X_jY_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou epsilon), que vale +1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares e 0 se quaisquer índices se repetem.
  • Delta de Kronecker: \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário; serve como “identidade” na notação indicial.
  • Identidade fundamental que vou usar (contratação de dois epsilons):
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Aqui o índice k aparece repetido e, pela convenção, é somado. Essa identidade é padrão e pode ser verificada caso a caso para i,j,l,m ou provada usando determinantes; eu a uso como ferramenta central para simplificar produtos de epsilons.

Passo 3

Escrevo a componente i do lado esquerdo \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) em notação indicial passo a passo.
Primeiro, aplico a fórmula do produto vetorial ao produto interno:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=\varepsilon_{ijk}A_j(\vec{B}\times\vec{C})_k.
Agora substituo a componente de \vec{B}\times\vec{C} pela sua expressão com \varepsilon:
(\vec{B}\times\vec{C})_k=\varepsilon_{klm}B_lC_m.
Substituindo, obtenho
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}B_lC_m.
Note que aqui os índices repetidos j,k,l,m são somados conforme a convenção.

Passo 4

Agora uso a identidade de contração de dois \varepsilon:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_jB_lC_m.

Passo 5

Desenvolvo os dois termos separadamente, aplicando as propriedades do delta de Kronecker (ele substitui índices iguais).
Primeiro termo:
\delta_{il}\delta_{jm}A_jB_lC_m = B_i \underbrace{A_jC_j}_{\vec{A}\cdot\vec{C}} = B_i(\vec{A}\cdot\vec{C}).
Explicando: \delta_{il} força l=i, então B_l vira B_i; \delta_{jm} força m=j, então A_jC_m vira A_jC_j=\vec{A}\cdot\vec{C}.
Segundo termo:
\delta_{im}\delta_{jl}A_jB_lC_m = C_i \underbrace{A_jB_j}_{\vec{A}\cdot\vec{B}} = C_i(\vec{A}\cdot\vec{B}).
Explicando: \delta_{im} força m=i fazendo C_m=C_i; \delta_{jl} força l=j fazendo B_l=B_j e A_jB_j=\vec{A}\cdot\vec{B}.
Juntando os dois termos com o sinal menos:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i = B_i(\vec{A}\cdot\vec{C}) - C_i(\vec{A}\cdot\vec{B}).

Passo 6

Interpretação final: mostramos que, para cada componente i,
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i = \big(B_i(\vec{A}\cdot\vec{C}) - C_i(\vec{A}\cdot\vec{B})\big).
Como isso vale para i=1,2,3, os vetores são iguais. Portanto a identidade é válida.

Resposta

\displaystyle \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})

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