(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real. \vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A} cdot \vec{C})-\vec{C}(\vec{A} cdot \vec{B})
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
Informações dadas e hipóteses que vamos usar sem perguntar nada:
\vec{A},\vec{B},\vec{C} são vetores em \mathbb{R}^3.
Foi mencionado que a é um número real, mas essa constante não aparece na identidade; portanto não é necessária para a verificação.
Objetivo: mostrar que os dois vetores (lado esquerdo e direito) coincidem componente a componente, usando notação indicial.
Passo 2
Vou explicar a notação indicial e as ferramentas que usarei (tudo bem mastigado).
Componentes: escrevo as componentes dos vetores como A_i, B_i, C_i, onde i=1,2,3. Por exemplo, \vec{A}=(A_1,A_2,A_3).
Convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre 1,2,3. Ex.: A_i B_i = \sum_{i=1}^3 A_i B_i = \vec{A}\cdot\vec{B}.
Produto vetorial em componentes: a i-ésima componente de \vec{X}\times\vec{Y} é dada por
(\vec{X}\times\vec{Y})_i=\varepsilon_{ijk}X_jY_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou epsilon), que vale +1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares e 0 se quaisquer índices se repetem.
Delta de Kronecker: \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário; serve como “identidade” na notação indicial.
Identidade fundamental que vou usar (contratação de dois epsilons):
Aqui o índice k aparece repetido e, pela convenção, é somado. Essa identidade é padrão e pode ser verificada caso a caso para i,j,l,m ou provada usando determinantes; eu a uso como ferramenta central para simplificar produtos de epsilons.
Passo 3
Escrevo a componente i do lado esquerdo \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) em notação indicial passo a passo.
Primeiro, aplico a fórmula do produto vetorial ao produto interno: