(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
\vec{A} \times \vec{B}+\vec{B} \times \vec{A}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade
\vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A}=0,
onde \vec{A} e \vec{B} são vetores em \mathbb{R}^3 e a é um número real (não usado aqui). Vou usar notação indicial (convenção de Einstein) para fazer a verificação. Dados relevantes:
  • os componentes de \vec{A} são A_1,A_2,A_3;
  • os componentes de \vec{B} são B_1,B_2,B_3;
  • índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3.

Passo 2

Definições e propriedades que vou usar (explicadas):
  • Componente i-ésima do produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é dada por
(\vec{A}\times\vec{B})_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões; aqui i,j,k\in\{1,2,3\}. (A soma sobre j e k está implícita.)
  • Propriedade antissimétrica do símbolo de Levi-Civita:
\epsilon_{ijk} = -\epsilon_{ikj},
ou seja, trocar dois índices muda o sinal.
  • Regra de renomear índices de soma: índices somados são “dummies” e podem ser trocados de nome sem alterar o valor da soma (por exemplo trocar j por k simultaneamente em um termo somado).
Vou aplicar essas propriedades para avaliar cada componente da soma vetorial.

Passo 3

Escrevo a i-ésima componente da soma \vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A}:
(\vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A})_i = (\vec{A}\times\vec{B})_i + (\vec{B}\times\vec{A})_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k + \epsilon_{ijk} B_j A_k.

Passo 4

Manipulo o segundo termo para poder somá‑lo ao primeiro de forma direta. No segundo termo, troco os nomes dos índices dummy j e k (isso é permitido porque ambos são índices de soma):
\epsilon_{ijk} B_j A_k = \epsilon_{i k j} B_k A_j.
Agora troco a ordem dos fatores B_k A_j para A_j B_k (produto de escalares comuta), obtendo
\epsilon_{ijk} B_j A_k = \epsilon_{i k j} A_j B_k.
Usando a antissimetria de \epsilon, \epsilon_{i k j} = -\epsilon_{i j k}. Portanto
\epsilon_{ijk} B_j A_k = -\epsilon_{i j k} A_j B_k.

Passo 5

Substituo essa expressão de volta na soma da componente i:
(\vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A})_i = \epsilon_{i j k} A_j B_k + \bigl(-\epsilon_{i j k} A_j B_k\bigr) = 0.
Como isso vale para cada componente i=1,2,3, segue que o vetor inteiro é o vetor nulo:
\vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A}=\vec{0}.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B}+\vec{B}\times\vec{A}=\vec{0}

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