(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade
onde
e
são vetores em
e
é um número real (não usado aqui). Vou usar notação indicial (convenção de Einstein) para fazer a verificação. Dados relevantes:
- os componentes de
são ; - os componentes de
são ; - índices repetidos implicam soma sobre
.
Passo 2
Definições e propriedades que vou usar (explicadas):
- Componente
-ésima do produto vetorial é dada por
onde
é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões; aqui
. (A soma sobre
e
está implícita.)
- Propriedade antissimétrica do símbolo de Levi-Civita:
ou seja, trocar dois índices muda o sinal.
- Regra de renomear índices de soma: índices somados são “dummies” e podem ser trocados de nome sem alterar o valor da soma (por exemplo trocar
por simultaneamente em um termo somado).
Vou aplicar essas propriedades para avaliar cada componente da soma vetorial.
Passo 3
Escrevo a
-ésima componente da soma
:
Passo 4
Manipulo o segundo termo para poder somá‑lo ao primeiro de forma direta. No segundo termo, troco os nomes dos índices dummy
e
(isso é permitido porque ambos são índices de soma):
Agora troco a ordem dos fatores
para
(produto de escalares comuta), obtendo
Usando a antissimetria de
,
. Portanto
Passo 5
Substituo essa expressão de volta na soma da componente
:
Como isso vale para cada componente
, segue que o vetor inteiro é o vetor nulo: