Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada.
D=\left(\begin{array}{cc}0 & -4 \\\\ 3 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Determinar se a matriz D é diagonalizável.
  • Se for diagonalizável, encontrar uma base de autovetores (vetores próprios) e exibir a forma diagonal associada.
Informações dadas:
D=\begin{pmatrix}0 & -4 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix}]

Passo 2

O que significa “diagonalizável” e qual o método que vamos usar (explicação didática):
  • Uma matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de A. Em termos práticos, existe uma matriz invertível P cuja coluna j é um autovetor de A e uma matriz diagonal \Lambda tal que
A = P \Lambda P^{-1}.
  • Para matrizes 2\times2 (como a nossa), um teste rápido: se os autovalores são distintos (raízes diferentes do polinômio característico), então há sempre dois autovetores linearmente independentes e a matriz é diagonalizável. Vou calcular o polinômio característico, achar os autovalores ( \lambda) e depois achar autovetores resolvendo (D-\lambda I)v=0.
  • Lembrete prático: para resolver (D-\lambda I)v=0 fazemos eliminação linear simples; qualquer vetor não-nulo da solução é um autovetor.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \chi_D(\lambda)=\det(D-\lambda I).
D-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & -4 \\[4pt] 3 & 7-\lambda\end{pmatrix}
\chi_D(\lambda)=\det(D-\lambda I)=(-\lambda)(7-\lambda)-(-4)\cdot 3
Agora simplifico:
\chi_D(\lambda) = -7\lambda + \lambda^2 + 12 = \lambda^2 - 7\lambda + 12.]

Passo 4

Fatorar o polinômio característico para achar os autovalores.
\lambda^2 - 7\lambda + 12 = (\lambda-3)(\lambda-4).
Portanto os autovalores são \lambda_1=3 e \lambda_2=4. Como são dois autovalores distintos num caso 2\times2, isso já garante que D é diagonalizável (teorema: autovalores distintos implicam autovetores linearmente independentes).

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=3. Resolvemos (D-3I)v=0.
D-3I=\begin{pmatrix}-3 & -4 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
Procuramos vetores v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tais que
\begin{pmatrix}-3 & -4 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
-3x-4y=0,
3x+4y=0,
que são a mesma equação (uma é múltiplo da outra). Da primeira equação temos -3x=4y, então x=-\tfrac{4}{3}y. Podemos escolher um y conveniente para obter um autovetor com coordenadas inteiras: escolha y=3, então x=-4. Assim um autovetor associado a \lambda_1=3 é
v_1=\begin{pmatrix}-4\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não-nulo de v_1 também serve.]

Passo 6

Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=4. Resolvemos (D-4I)v=0.
D-4I=\begin{pmatrix}-4 & -4 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}
Procuramos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} com
\begin{pmatrix}-4 & -4 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
-4x-4y=0,
3x+3y=0,
novamente as equações são equivalentes. da primeira -4x = 4y então x=-y. Escolhendo y=1 obtemos x=-1. Assim um autovetor associado a \lambda_2=4 é
v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (para garantir que formam base).
Formo a matriz P cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}-4 & -1 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante de P:
\det(P)=(-4)\cdot 1 - (-1)\cdot 3 = -4 + 3 = -1 \neq 0.
Como \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e P é invertível. Logo \{v_1,v_2\} é uma base de autovetores.]

Passo 8

Escrever a forma diagonal associada (explicando a correspondência de ordem):
  • Quando colocamos em P como coluna 1 o autovetor v_1 de \lambda_1=3 e em coluna 2 o autovetor v_2 de \lambda_2=4, a forma diagonal correspondente é
\Lambda=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
E vale a relação de diagonalização
D = P \Lambda P^{-1}.
Se alguém preferir outra ordem de autovetores nas colunas de P, a diagonal resultante terá as entradas na ordem correspondente.]

Passo 9

Resumo prático (como aplicar isso numa prova):
  • Calcule o polinômio característico \det(D-\lambda I).
  • Ache as raízes \lambda (autovalores).
  • Para cada \lambda, resolva (D-\lambda I)v=0 por eliminação para obter autovetores.
  • Se conseguir n autovetores linearmente independentes (aqui n=2), forme P com eles como colunas e a diagonal será \Lambda com os autovalores na mesma ordem das colunas.

Resposta

D é diagonalizável.
Uma base de autovetores: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Forma diagonal associada (na ordem acima): \displaystyle \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

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