Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada. D=\left(\begin{array}{cc}0 & -4 \\\\ 3 & 7\end{array}\right)
Passo 1
O que o exercício pede:
Determinar se a matriz D é diagonalizável.
Se for diagonalizável, encontrar uma base de autovetores (vetores próprios) e exibir a forma diagonal associada.
O que significa “diagonalizável” e qual o método que vamos usar (explicação didática):
Uma matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de A. Em termos práticos, existe uma matriz invertível P cuja coluna j é um autovetor de A e uma matriz diagonal \Lambda tal que
A = P \Lambda P^{-1}.
Para matrizes 2\times2 (como a nossa), um teste rápido: se os autovalores são distintos (raízes diferentes do polinômio característico), então há sempre dois autovetores linearmente independentes e a matriz é diagonalizável. Vou calcular o polinômio característico, achar os autovalores (\lambda) e depois achar autovetores resolvendo (D-\lambda I)v=0.
Lembrete prático: para resolver (D-\lambda I)v=0 fazemos eliminação linear simples; qualquer vetor não-nulo da solução é um autovetor.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \chi_D(\lambda)=\det(D-\lambda I).
Portanto os autovalores são \lambda_1=3 e \lambda_2=4. Como são dois autovalores distintos num caso 2\times2, isso já garante que D é diagonalizável (teorema: autovalores distintos implicam autovetores linearmente independentes).
Passo 5
Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=3. Resolvemos (D-3I)v=0.
que são a mesma equação (uma é múltiplo da outra). Da primeira equação temos -3x=4y, então x=-\tfrac{4}{3}y. Podemos escolher um y conveniente para obter um autovetor com coordenadas inteiras: escolha y=3, então x=-4. Assim um autovetor associado a \lambda_1=3 é
v_1=\begin{pmatrix}-4\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não-nulo de v_1 também serve.]
Passo 6
Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=4. Resolvemos (D-4I)v=0.
Se alguém preferir outra ordem de autovetores nas colunas de P, a diagonal resultante terá as entradas na ordem correspondente.]
Passo 9
Resumo prático (como aplicar isso numa prova):
Calcule o polinômio característico \det(D-\lambda I).
Ache as raízes \lambda (autovalores).
Para cada \lambda, resolva (D-\lambda I)v=0 por eliminação para obter autovetores.
Se conseguir n autovetores linearmente independentes (aqui n=2), forme P com eles como colunas e a diagonal será \Lambda com os autovalores na mesma ordem das colunas.
Resposta
D é diagonalizável.
Uma base de autovetores: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Forma diagonal associada (na ordem acima): \displaystyle \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]