(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a igualdade
é verdadeira. Informações dadas (explicitadas):
-
é um campo escalar suficientemente suave (diferenciável). -
é um campo vetorial com componentes . - Usar notação indicial (índices
e convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados). - Definições que usarei (em notação indicial):
-
significa . -
. -
tem componentes .
A resolução começa a seguir.
-
Passo 2
Escrever o membro esquerdo em notação indicial. A divergência do produto escalar-por-vetor é
pois
tem componentes
e a divergência é a soma
aplicada a cada componente.
Passo 3
Aplicar a regra do produto (regra da derivada de um produto de funções) ao termo
. A regra do produto diz que, para funções diferenciáveis
e
,
Aqui
e
(note que
depende de
também), portanto
Passo 4
Interpretar os termos obtidos em notação vetorial. O primeiro termo
é exatamente o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
:
O segundo termo
é a divergência de
:
Passo 5
Juntando os resultados das duas últimas igualdades obtemos
ou seja, em notação vetorial
Para ficar bem concreto, em coordenadas cartesianas isso equivale a
Passo 6
Condições de validade e comentário rápido: a identidade é válida sempre que
e
forem diferenciáveis (para que a regra do produto possa ser aplicada). Em coordenadas curvilíneas ou em formulação covariante a forma da identidade permanece válida se as derivadas forem interpretadas de maneira compatível (o gradiente de um escalar continua a ser a derivada parcial do escalar, e o produto regra vale). Em resumo, nada de estranho aparece: a identidade é consequência direta da regra do produto aplicada componente a componente.