(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla} \cdot(\Phi \vec{A})=\vec{\nabla} \Phi \cdot \vec{A}+\Phi \vec{\nabla} \cdot \vec{A}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a igualdade
\vec{\nabla}\cdot(\Phi\vec{A})=\vec{\nabla}\Phi\cdot\vec{A}+\Phi\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}
é verdadeira. Informações dadas (explicitadas):
  • \Phi=\Phi(\mathbf{x}) é um campo escalar suficientemente suave (diferenciável).
  • \vec{A}=\vec{A}(\mathbf{x}) é um campo vetorial com componentes A_i(\mathbf{x}).
  • Usar notação indicial (índices i,j,\dots e convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados).
  • Definições que usarei (em notação indicial):
    • \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x_i}.
    • \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_i A_i.
    • \vec{\nabla}\Phi tem componentes \partial_i\Phi.
      A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escrever o membro esquerdo em notação indicial. A divergência do produto escalar-por-vetor é
\vec{\nabla}\cdot(\Phi\vec{A})=\partial_i\big(\Phi\,A_i\big),
pois \Phi\vec{A} tem componentes \Phi A_i e a divergência é a soma \partial_i aplicada a cada componente.

Passo 3

Aplicar a regra do produto (regra da derivada de um produto de funções) ao termo \partial_i(\Phi A_i). A regra do produto diz que, para funções diferenciáveis f e g,
\partial_i(fg)=(\partial_i f)\,g+f\,(\partial_i g).
Aqui f=\Phi e g=A_i (note que A_i depende de \mathbf{x} também), portanto
\partial_i\big(\Phi\,A_i\big)=(\partial_i\Phi)\,A_i+\Phi\,(\partial_i A_i).

Passo 4

Interpretar os termos obtidos em notação vetorial. O primeiro termo (\partial_i\Phi)A_i é exatamente o produto escalar entre o gradiente de \Phi e o vetor \vec{A}:
(\partial_i\Phi)A_i=\vec{\nabla}\Phi\cdot\vec{A}.
O segundo termo \partial_i A_i é a divergência de \vec{A}:
\partial_i A_i=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.

Passo 5

Juntando os resultados das duas últimas igualdades obtemos
\partial_i\big(\Phi\,A_i\big)=(\partial_i\Phi)A_i+\Phi\,(\partial_i A_i)
ou seja, em notação vetorial
\vec{\nabla}\cdot(\Phi\vec{A})=\vec{\nabla}\Phi\cdot\vec{A}+\Phi\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.
Para ficar bem concreto, em coordenadas cartesianas isso equivale a
\partial_x(\Phi A_x)+\partial_y(\Phi A_y)+\partial_z(\Phi A_z) =(\partial_x\Phi)A_x+(\partial_y\Phi)A_y+(\partial_z\Phi)A_z+\Phi\big(\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z\big).

Passo 6

Condições de validade e comentário rápido: a identidade é válida sempre que \Phi e \vec{A} forem diferenciáveis (para que a regra do produto possa ser aplicada). Em coordenadas curvilíneas ou em formulação covariante a forma da identidade permanece válida se as derivadas forem interpretadas de maneira compatível (o gradiente de um escalar continua a ser a derivada parcial do escalar, e o produto regra vale). Em resumo, nada de estranho aparece: a identidade é consequência direta da regra do produto aplicada componente a componente.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(\Phi\vec{A})=\vec{\nabla}\Phi\cdot\vec{A}+\Phi\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}

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