(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que
Informações e hipóteses que vamos usar:
-
é um campo vetorial suficientemente suave (assumimos que as segundas derivadas parciais de são contínuas, isto é, ). Essa hipótese garante que as derivadas parciais comutam: . - Notação indicial / convenção de Einstein: índices repetidos em produto implicam soma (por exemplo,
significa ). - Símbolos que usaremos:
-
significa . -
é o símbolo de Levi-Civita (antissimétrico em quaisquer dois índices). -
é o delta de Kronecker (igual a se e caso contrário).
-
Passo 2
Definir divergence e curl em notação indicial:
- A divergência de um campo
é . - O rotacional (curl) de
em componentes é .
Usando essas definições, escrevemos a quantidade pedida em notação indicial:
Passo 3
Como
é constante (não depende das coordenadas), podemos tirá-lo para fora da derivada:
Portanto
Passo 4
Agora usamos duas propriedades cruciais:
- As derivadas parciais comutam (hipótese de suavidade):
. Logo a quantidade é simétrica na troca de com . - O símbolo de Levi-Civita é antissimétrico na troca de
com : .
Considere a contracção
. Trocar os índices
e
obtemos o mesmo valor devido à comutação das derivadas, mas o
muda de sinal:
Chamando essa expressão de
, temos
, portanto
.
Passo 5
Conclusão: pela simetria em
de
e pela antissimetria de
em
, a contracção é zero. Assim
desde que
tenha segundas derivadas contínuas (hipótese usual).