(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{A})=0

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0.
Informações e hipóteses que vamos usar:
  • \vec{A}(\vec{x}) é um campo vetorial suficientemente suave (assumimos que as segundas derivadas parciais de \vec{A} são contínuas, isto é, \vec{A}\in C^2). Essa hipótese garante que as derivadas parciais comutam: \partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i.
  • Notação indicial / convenção de Einstein: índices repetidos em produto implicam soma (por exemplo, a_i b_i significa \sum_{i=1}^3 a_i b_i).
  • Símbolos que usaremos:
    • \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x_i}.
    • \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (antissimétrico em quaisquer dois índices).
    • \delta_{ij} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=j e 0 caso contrário).

Passo 2

Definir divergence e curl em notação indicial:
  • A divergência de um campo \vec{V} é \vec{\nabla}\cdot\vec{V} = \partial_i V_i.
  • O rotacional (curl) de \vec{A} em componentes é (\vec{\nabla}\times\vec{A})_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k.
Usando essas definições, escrevemos a quantidade pedida em notação indicial:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \partial_i\bigl((\vec{\nabla}\times\vec{A})_i\bigr) = \partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k\bigr).

Passo 3

Como \varepsilon_{ijk} é constante (não depende das coordenadas), podemos tirá-lo para fora da derivada:
\partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k\bigr) = \varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j A_k.
Portanto
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j A_k.

Passo 4

Agora usamos duas propriedades cruciais:
  1. As derivadas parciais comutam (hipótese de suavidade): \partial_i\partial_j A_k = \partial_j\partial_i A_k. Logo a quantidade \partial_i\partial_j A_k é simétrica na troca de i com j.
  2. O símbolo de Levi-Civita é antissimétrico na troca de i com j: \varepsilon_{jik} = -\varepsilon_{ijk}.
Considere a contracção \varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j A_k. Trocar os índices i e j obtemos o mesmo valor devido à comutação das derivadas, mas o \varepsilon muda de sinal:
\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j A_k = \varepsilon_{jik}\,\partial_j\partial_i A_k = -\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j A_k.
Chamando essa expressão de S, temos S = -S, portanto S=0.

Passo 5

Conclusão: pela simetria em i,j de \partial_i\partial_j A_k e pela antissimetria de \varepsilon_{ijk} em i,j, a contracção é zero. Assim
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0,
desde que \vec{A} tenha segundas derivadas contínuas (hipótese usual).

Resposta

0

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