(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
Passo 1
Enunciado que vamos verificar: a identidade
é válida para um campo escalar
. Informações relevantes dadas/assumidas:
-
é um campo escalar com derivadas parciais de segunda ordem contínuas (ou seja, ), de modo que as derivadas mistas comutam: . - O objetivo é mostrar, usando notação indicial, que cada componente do vetor
é zero.
Passo 2
Definições em notação indicial e convenções que usarei:
- Convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre
. - Componentes do gradiente de
: , onde . - Componentes do rotacional (curl) de um campo vetorial
: , onde é o símbolo de Levi-Civita (totalmente antissimétrico). - Propriedade do símbolo de Levi-Civita:
.
Passo 3
Escrevo a componente
-ésima do rotacional do gradiente em notação indicial:
Usando
obtemos
Passo 4
Agora uso que as derivadas parciais de segunda ordem comutam (hipótese
):
Considere a expressão
. Troco os índices contratuais
na expressão usando que são índices dummy (somados):
Pela antissimetria do Levi-Civita
e pela comutatividade das derivadas mistas
, então
Logo
, o que implica
Passo 5
Para fixar a intuição, dá pra ver cada componente explicitamente (sem símbolos): tomando
(com
),
pois
. O mesmo vale para
. Isto é apenas a versão componente-a-componente do argumento indicial anterior.
Passo 6
Conclusão: todas as componentes
são zero sob a hipótese
. Em linguagem natural: o campo gradiente é irrotacional — o rotacional do gradiente de qualquer potencial suave é nulo.