(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \Phi)=0

Passo 1

Enunciado que vamos verificar: a identidade
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\Phi)=0
é válida para um campo escalar \Phi. Informações relevantes dadas/assumidas:
  • \Phi é um campo escalar com derivadas parciais de segunda ordem contínuas (ou seja, \Phi\in C^2), de modo que as derivadas mistas comutam: \partial_j\partial_k\Phi=\partial_k\partial_j\Phi.
  • O objetivo é mostrar, usando notação indicial, que cada componente do vetor \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\Phi) é zero.

Passo 2

Definições em notação indicial e convenções que usarei:
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre 1,2,3.
  • Componentes do gradiente de \Phi: (\nabla\Phi)_i=\partial_i\Phi, onde \partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}.
  • Componentes do rotacional (curl) de um campo vetorial A: (\nabla\times A)_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j A_k, onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (totalmente antissimétrico).
  • Propriedade do símbolo de Levi-Civita: \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{ikj}.

Passo 3

Escrevo a componente i-ésima do rotacional do gradiente em notação indicial:
(\nabla\times(\nabla\Phi))_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j(\nabla\Phi)_k.
Usando (\nabla\Phi)_k=\partial_k\Phi obtemos
(\nabla\times(\nabla\Phi))_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\Phi.

Passo 4

Agora uso que as derivadas parciais de segunda ordem comutam (hipótese \Phi\in C^2):
\partial_j\partial_k\Phi=\partial_k\partial_j\Phi.
Considere a expressão E_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\Phi. Troco os índices contratuais j\leftrightarrow k na expressão usando que são índices dummy (somados):
E_i=\varepsilon_{ikj}\,\partial_k\partial_j\Phi.
Pela antissimetria do Levi-Civita \varepsilon_{ikj}=-\varepsilon_{ijk} e pela comutatividade das derivadas mistas \partial_k\partial_j\Phi=\partial_j\partial_k\Phi, então
E_i=-\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k\Phi=-E_i.
Logo E_i=-E_i, o que implica
E_i=0.

Passo 5

Para fixar a intuição, dá pra ver cada componente explicitamente (sem símbolos): tomando i=1 (com x_1=x,\\ x_2=y,\\ x_3=z),
(\nabla\times(\nabla\Phi))_1=\partial_2\partial_3\Phi-\partial_3\partial_2\Phi=0,
pois \partial_2\partial_3\Phi=\partial_3\partial_2\Phi. O mesmo vale para i=2,3. Isto é apenas a versão componente-a-componente do argumento indicial anterior.

Passo 6

Conclusão: todas as componentes (\nabla\times(\nabla\Phi))_i são zero sob a hipótese \Phi\in C^2. Em linguagem natural: o campo gradiente é irrotacional — o rotacional do gradiente de qualquer potencial suave é nulo.

Resposta

\vec{0}

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