(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla} \times(\vec{A} \times \vec{B})=(\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \vec{A}-(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \vec{B}+(\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{A}-(\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\vec{\nabla} \times(\vec{A} \times \vec{B})=(\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \vec{A}-(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \vec{B}+(\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{A}-(\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}.
Informações dadas e objetivo:
  • \vec{A}(\vec{x}) e \vec{B}(\vec{x}) são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis) no domínio considerado.
  • Verificar a igualdade componente a componente usando notação indicial.
  • Não são solicitadas condições de contorno; basta mostrar a identidade diferencial localmente (para cada ponto onde as derivadas existem).

Passo 2

Vou introduzir e lembrar as convenções e fórmulas em notação indicial que usarei:
  • Componentes: A_i e B_i são as componentes cartesianas de \vec{A} e \vec{B}.
  • Derivada parcial: \partial_j \equiv \dfrac{\partial}{\partial x_j}.
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3.
  • Produtor vetorial em componentes usa o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk}:
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\epsilon_{i j k}A_j B_k.
  • Rotacional (curl) em componentes:
(\nabla\times \vec{F})_i=\epsilon_{i j k}\partial_j F_k.
  • Identidade útil do Levi-Civita (produto de dois \epsilon):
\epsilon_{i j k}\epsilon_{k l m}=\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.
  • Definições escalares e operadores em notação indicial:
(\nabla\cdot\vec{A})=\partial_i A_i,\qquad (\vec{B}\cdot\nabla)A_i=B_j\partial_j A_i.
Essas fórmulas são as ferramentas que vou aplicar passo a passo.

Passo 3

Escrevo a componente i do membro à esquerda \nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}) e uso as definições:
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i=\epsilon_{i j k}\partial_j(\vec{A}\times\vec{B})_k.
Substituo (\vec{A}\times\vec{B})_k=\epsilon_{k l m}A_l B_m:
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i=\epsilon_{i j k}\partial_j(\epsilon_{k l m}A_l B_m).
Como \epsilon_{k l m} é constante (não depende de \vec{x}), posso puxá-la para fora da derivada:
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i=\epsilon_{i j k}\epsilon_{k l m}\,\partial_j(A_l B_m).

Passo 4

Aplico a identidade do produto de dois \epsilon para eliminar os símbolos de Levi-Civita:
\epsilon_{i j k}\epsilon_{k l m}=(\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l}).
Portanto
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i=(\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l})\,\partial_j(A_l B_m).
Uso as propriedades do delta para simplificar as substituições de índices (cada \delta identifica índices):
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i=\partial_m(A_i B_m)-\partial_l(A_l B_i).
Aqui, no primeiro termo, l\to i e j\to m; no segundo termo, m\to i e j\to l.

Passo 5

Aplicando a regra do produto às derivadas nos dois termos:
\partial_m(A_i B_m)=A_i\,\partial_m B_m + B_m\,\partial_m A_i,
\partial_l(A_l B_i)=A_l\,\partial_l B_i + B_i\,\partial_l A_l.
Substituindo na expressão obtida:
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i = A_i\,\partial_m B_m + B_m\,\partial_m A_i - A_l\,\partial_l B_i - B_i\,\partial_l A_l.

Passo 6

Agora reconheço cada termo em notação vetorial:
  • \partial_m B_m=(\nabla\cdot\vec{B}).
  • \partial_l A_l=(\nabla\cdot\vec{A}).
  • B_m\partial_m A_i=(\vec{B}\cdot\nabla)A_i.
  • A_l\partial_l B_i=(\vec{A}\cdot\nabla)B_i.
    Então a componente i fica
(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B}))_i = (\nabla\cdot\vec{B})\,A_i - (\nabla\cdot\vec{A})\,B_i + (\vec{B}\cdot\nabla)A_i - (\vec{A}\cdot\nabla)B_i.
Como isso vale para cada componente i, reescrevo a identidade vetorial completa:
\boxed{\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\nabla\cdot\vec{B})\vec{A}-(\nabla\cdot\vec{A})\vec{B}+(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}.}
Parabéns — a identidade foi verificada componente a componente. Se ficou com dúvida em algum passo algébrico (troca de índices, uso do produto \epsilon\epsilon ou da regra do produto), me diz que eu repasso com exemplos numéricos simples para fixar.

Resposta

\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\nabla\cdot\vec{B})\vec{A}-(\nabla\cdot\vec{A})\vec{B}+(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}

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