(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
Informações dadas e objetivo:
-
e são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis) no domínio considerado. - Verificar a igualdade componente a componente usando notação indicial.
- Não são solicitadas condições de contorno; basta mostrar a identidade diferencial localmente (para cada ponto onde as derivadas existem).
Passo 2
Vou introduzir e lembrar as convenções e fórmulas em notação indicial que usarei:
- Componentes:
e são as componentes cartesianas de e . - Derivada parcial:
. - Convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre
. - Produtor vetorial em componentes usa o símbolo de Levi-Civita
:
- Rotacional (curl) em componentes:
- Identidade útil do Levi-Civita (produto de dois
):
onde
é o delta de Kronecker.
- Definições escalares e operadores em notação indicial:
Essas fórmulas são as ferramentas que vou aplicar passo a passo.
Passo 3
Escrevo a componente
do membro à esquerda
e uso as definições:
Substituo
:
Como
é constante (não depende de
), posso puxá-la para fora da derivada:
Passo 4
Aplico a identidade do produto de dois
para eliminar os símbolos de Levi-Civita:
Portanto
Uso as propriedades do delta para simplificar as substituições de índices (cada
identifica índices):
Aqui, no primeiro termo,
e
; no segundo termo,
e
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto às derivadas nos dois termos:
Substituindo na expressão obtida:
Passo 6
Agora reconheço cada termo em notação vetorial:
-
. -
. -
. -
.
Então a componentefica
Como isso vale para cada componente
, reescrevo a identidade vetorial completa:
Parabéns — a identidade foi verificada componente a componente. Se ficou com dúvida em algum passo algébrico (troca de índices, uso do produto
ou da regra do produto), me diz que eu repasso com exemplos numéricos simples para fixar.