\vec{A}(\vec{x}) e \vec{B}(\vec{x}) são campos vetoriais suaves (diferenciáveis) com componentes \(A_i(\vec{x})) e \(B_i(\vec{x})).
O operador \vec{\nabla} tem componentes \(\partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}).
Objetivo: provar, usando notação indicial (componentes, \delta_{ij}, \epsilon_{ijk}), que as componentes do lado esquerdo e do lado direito são iguais para cada índice i. Não será assumido nada além das definições básicas de produto escalar, produto vetorial, derivadas parciais e das identidades com \epsilon_{ijk} e \delta_{ij}.
Passo 2
Vou lembrar e definir em notação indicial as expressões que vou usar (cada definição explicada brevemente).
Produto escalar: \vec{A}\cdot\vec{B} tem componente escalar
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_j B_j,
onde soma sobre j (convenção de soma de Einstein).
Gradiente de um escalar: a componente i do vetor \vec{\nabla}(\text{esc}) é
Agora faço reagrupamento dos termos: vejo que os termos A_j\partial_j B_i e -A_j\partial_j B_i se cancelam, e também B_j\partial_j A_i e -B_j\partial_j A_i se cancelam. Restam os termos com \partial_i:
Como as componentes i do LHS e do RHS são idênticas para todo i, concluímos que a identidade vetorial é verdadeira para campos vetoriais diferenciáveis \vec{A} e \vec{B}. Foi usada apenas a regra do produto para derivadas, as definições em notação indicial e a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita.