(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla}(\vec{A} \cdot \vec{B})=(\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}+(\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{A}+\vec{A} \times(\vec{\nabla} \times \vec{B})+\vec{B} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}).
Informações dadas (assumidas padrão):
  • \vec{A}(\vec{x}) e \vec{B}(\vec{x}) são campos vetoriais suaves (diferenciáveis) com componentes \(A_i(\vec{x})) e \(B_i(\vec{x})).
  • O operador \vec{\nabla} tem componentes \(\partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}).
Objetivo: provar, usando notação indicial (componentes, \delta_{ij}, \epsilon_{ijk}), que as componentes do lado esquerdo e do lado direito são iguais para cada índice i. Não será assumido nada além das definições básicas de produto escalar, produto vetorial, derivadas parciais e das identidades com \epsilon_{ijk} e \delta_{ij}.

Passo 2

Vou lembrar e definir em notação indicial as expressões que vou usar (cada definição explicada brevemente).
  • Produto escalar: \vec{A}\cdot\vec{B} tem componente escalar
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_j B_j,
onde soma sobre j (convenção de soma de Einstein).
  • Gradiente de um escalar: a componente i do vetor \vec{\nabla}(\text{esc}) é
\big(\vec{\nabla}\varphi\big)_i=\partial_i\varphi.
Aqui \partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}.
  • Derivada direcional (operador convectivo): a componente i de (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} é
\big((\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\big)_i = A_j\,\partial_j B_i.
Explicação: (\vec{A}\cdot\vec{\nabla}) é um operador escalar que vale A_j\partial_j e age componente a componente em \vec{B}.
  • Rotacional (curl): componente i de \vec{\nabla}\times\vec{B}
(\vec{\nabla}\times\vec{B})_i = \epsilon_{i j k}\,\partial_j B_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (antisimétrico).
  • Produto vetorial: componente i de \vec{A}\times\vec{C} é
(\vec{A}\times\vec{C})_i = \epsilon_{i j k}\,A_j C_k.
  • Identidade útil do Levi-Civita
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{k l m} = \delta_{i l}\,\delta_{j m} - \delta_{i m}\,\delta_{j l},
com soma em k. Aqui \delta_{ij} é o delta de Kronecker.
Com estas definições, trabalharei com as componentes da igualdade a ser verificada.

Passo 3

Escrevo as componentes do lado esquerdo (LHS). A componente i de \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B}) é
\big(\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})\big)_i = \partial_i\big(A_j B_j\big).
Agora aplico a regra do produto para derivadas parciais (produto escalar A_j B_j depende de \vec{x}):
\partial_i\big(A_j B_j\big) = (\partial_i A_j)\,B_j + A_j\,(\partial_i B_j).
Portanto
\big(\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})\big)_i = (\partial_i A_j)\,B_j + A_j\,(\partial_i B_j).

Passo 4

Agora escrevo as componentes de cada termo do lado direito (RHS) e vou simplificar.
  1. Primeiro termo: (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}
\big((\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\big)_i = A_j\,\partial_j B_i.
  1. Segundo termo: (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}
\big((\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\big)_i = B_j\,\partial_j A_i.
  1. Terceiro termo: \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}). Use as duas definições de produto vetorial e rotacional:
\big(\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\big)_i = \epsilon_{i j k}\,A_j\,(\vec{\nabla}\times\vec{B})_k = \epsilon_{i j k}\,A_j\,\epsilon_{k l m}\,\partial_l B_m.
Agora aplico a identidade \epsilon_{i j k}\epsilon_{k l m} = \delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l}:
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{k l m}\,A_j\,\partial_l B_m = \big(\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l}\big)\,A_j\,\partial_l B_m.
Ao aplicar os deltas:
= A_j\,\partial_i B_j - A_j\,\partial_j B_i.
Portanto
\big(\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\big)_i = A_j\,\partial_i B_j - A_j\,\partial_j B_i.
  1. Quarto termo: \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}). Análogo ao caso anterior (troca A\leftrightarrow B):
\big(\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\big)_i = B_j\,\partial_i A_j - B_j\,\partial_j A_i.

Passo 5

Somando todas as componentes do RHS (os quatro termos), obtemos
\begin{aligned} \text{RHS}_i &= \big((\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\big)_i + \big((\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\big)_i + \big(\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\big)_i + \big(\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\big)_i\\[4pt] &= \underbrace{A_j\,\partial_j B_i}_{\text{(1)}} + \underbrace{B_j\,\partial_j A_i}_{\text{(2)}} + \big(A_j\,\partial_i B_j - A_j\,\partial_j B_i\big) + \big(B_j\,\partial_i A_j - B_j\,\partial_j A_i\big). \end{aligned}
Agora faço reagrupamento dos termos: vejo que os termos A_j\partial_j B_i e -A_j\partial_j B_i se cancelam, e também B_j\partial_j A_i e -B_j\partial_j A_i se cancelam. Restam os termos com \partial_i:
\text{RHS}_i = A_j\,\partial_i B_j + B_j\,\partial_i A_j.]

Passo 6

Comparo com a expressão obtida para a componente do LHS no Passo 3, que foi
\big(\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})\big)_i = (\partial_i A_j)\,B_j + A_j\,(\partial_i B_j),
ou seja
\big(\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})\big)_i = B_j\,\partial_i A_j + A_j\,\partial_i B_j.
Isto coincide exatamente com \text{RHS}_i que acabamos de obter:
\text{RHS}_i = A_j\,\partial_i B_j + B_j\,\partial_i A_j.

Passo 7

Como as componentes i do LHS e do RHS são idênticas para todo i, concluímos que a identidade vetorial é verdadeira para campos vetoriais diferenciáveis \vec{A} e \vec{B}. Foi usada apenas a regra do produto para derivadas, as definições em notação indicial e a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita.

Resposta

A identidade é válida:
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}).

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