(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade
e instrui a usar notação indicial para todos os cálculos. Informações relevantes fornecidas:
- Devem ser usadas as componentes dos vetores e do operador diferencial na notação indicial.
- Aplica-se a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados).
- Serão usadas as propriedades do símbolo de Levi-Civita
(antissimetria e permutações cíclicas) e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Definições em notação indicial e notação que será usada:
- Componentes do produto vetorial:
- Divergente de um campo vetorial
:
onde
.
- Rotacional (componente) de
:
Observações sobre
:
- Trocar duas índices muda o sinal:
. - Permutação cíclica preserva o sinal:
.
Passo 3
Calcular a divergência do produto vetorial usando as definições:
Substituindo
obtemos
Como
é uma constante (não depende das coordenadas), pode-se tirá‑lo para fora da derivada:
Passo 4
Aplicar a regra do produto às derivadas parciais:
Logo a divergência se escreve como soma de dois termos:
Passo 5
Manipular o primeiro termo para reconhecê‑lo como
.
Começamos com
Começamos com
Usando a permutação cíclica de
podemos escrever
. Assim
Renomeando os índices
,
(índices dummies podem ser renomeados) obtemos
Pelo definição indicial do rotacional,
, logo
Passo 6
Manipular o segundo termo para reconhecê‑lo como
.
O segundo termo é
O segundo termo é
Usando a antissimetria de
em relação aos dois primeiros índices,
, obtemos
Renomeando
e
dá
Pela definição indicial do rotacional,
, portanto
Passo 7
Somando os dois termos
e
encontrados nos passos anteriores:
Portanto a identidade está verificada (supondo que
e
sejam suficientemente suaves para que as derivadas existam).