(Operadores diferenciais - Identidades) Verifique a validade das identidades dos operadores diferenciais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos.
\vec{\nabla} \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=(\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot \vec{B}-\vec{A} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{B})

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\vec{B}-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B})
e instrui a usar notação indicial para todos os cálculos. Informações relevantes fornecidas:
  • Devem ser usadas as componentes dos vetores e do operador diferencial na notação indicial.
  • Aplica-se a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados).
  • Serão usadas as propriedades do símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} (antissimetria e permutações cíclicas) e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Definições em notação indicial e notação que será usada:
  • Componentes do produto vetorial: (A\times B)_{i}=\varepsilon_{ijk}A_{j}B_{k}.
  • Divergente de um campo vetorial V: \vec{\nabla}\cdot\vec{V}=\partial_{i}V_{i},
onde \partial_{i}\equiv\frac{\partial}{\partial x_{i}}.
  • Rotacional (componente) de A: (\vec{\nabla}\times\vec{A})_{i}=\varepsilon_{i j k}\partial_{j}A_{k}.
Observações sobre \varepsilon_{ijk}:
  • Trocar duas índices muda o sinal: \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}.
  • Permutação cíclica preserva o sinal: \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{k i j}=\varepsilon_{j k i}.

Passo 3

Calcular a divergência do produto vetorial usando as definições:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\partial_{i}\big((A\times B)_{i}\big).
Substituindo (A\times B)_{i}=\varepsilon_{ijk}A_{j}B_{k} obtemos
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\partial_{i}\big(\varepsilon_{ijk}A_{j}B_{k}\big).
Como \varepsilon_{ijk} é uma constante (não depende das coordenadas), pode-se tirá‑lo para fora da derivada:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\big(A_{j}B_{k}\big).

Passo 4

Aplicar a regra do produto às derivadas parciais:
\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\big(A_{j}B_{k}\big)=\varepsilon_{ijk}\big((\partial_{i}A_{j})B_{k}+A_{j}(\partial_{i}B_{k})\big).
Logo a divergência se escreve como soma de dois termos:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\varepsilon_{ijk}(\partial_{i}A_{j})B_{k}+\varepsilon_{ijk}A_{j}(\partial_{i}B_{k}).

Passo 5

Manipular o primeiro termo para reconhecê‑lo como (\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\vec{B}.
Começamos com
T_{1}=\varepsilon_{ijk}(\partial_{i}A_{j})B_{k}.
Usando a permutação cíclica de \varepsilon_{ijk} podemos escrever \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{k i j}. Assim
T_{1}=B_{k}\varepsilon_{k i j}\partial_{i}A_{j}.
Renomeando os índices i\to p, j\to q (índices dummies podem ser renomeados) obtemos
T_{1}=B_{k}\varepsilon_{k p q}\partial_{p}A_{q}.
Pelo definição indicial do rotacional, (\vec{\nabla}\times\vec{A})_{k}=\varepsilon_{k p q}\partial_{p}A_{q}, logo
T_{1}=B_{k}(\vec{\nabla}\times\vec{A})_{k}=(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\vec{B}.

Passo 6

Manipular o segundo termo para reconhecê‑lo como -\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
O segundo termo é
T_{2}=\varepsilon_{ijk}A_{j}\partial_{i}B_{k}.
Usando a antissimetria de \varepsilon_{ijk} em relação aos dois primeiros índices, \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{j i k}, obtemos
T_{2}=-A_{j}\varepsilon_{j i k}\partial_{i}B_{k}.
Renomeando i\to p e k\to q
T_{2}=-A_{j}\varepsilon_{j p q}\partial_{p}B_{q}.
Pela definição indicial do rotacional, (\vec{\nabla}\times\vec{B})_{j}=\varepsilon_{j p q}\partial_{p}B_{q}, portanto
T_{2}=-A_{j}(\vec{\nabla}\times\vec{B})_{j}=-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B}).

Passo 7

Somando os dois termos T_{1} e T_{2} encontrados nos passos anteriores:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=T_{1}+T_{2}=(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\vec{B}-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
Portanto a identidade está verificada (supondo que \vec{A} e \vec{B} sejam suficientemente suaves para que as derivadas existam).

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\vec{B}-\vec{A}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{B})

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