1. \operatorname{sen}\left(\operatorname{tg}^{-1} x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \operatorname{sen}\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big).
Informação dada: a função é
f(x)=\operatorname{sen}\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big).
Objetivo: calcular f'(x).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação curta e didática): se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Aqui g(u)=\operatorname{sen}u e h(x)=\operatorname{tg}^{-1}x. Portanto
f'(x)=\cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big)\cdot\frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big).
Agora precisamos de duas coisas: \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big) em função de x e \dfrac{d}{dx}\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big).

Passo 3

Derivada de \operatorname{tg}^{-1}x (motivação por diferenciação implícita). Seja u=\operatorname{tg}^{-1}x. Então \operatorname{tg}u=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec}^2 u\cdot \frac{du}{dx}=1.
Logo
\frac{du}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 u}.
Mas \operatorname{sec}^2 u=1+\tan^2 u e como \tan u=x temos
\frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big)=\frac{1}{1+x^2}.
(Resumo: esta é a fórmula conhecida \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}; aqui usei \operatorname{tg}^{-1} para o arctangente.)

Passo 4

Calcular \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big) usando um triângulo retângulo (método geométrico muito útil em provas). Seja \theta=\operatorname{tg}^{-1}x. Então \tan\theta=x, isto é, \tan\theta=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\dfrac{x}{1}. Tome um triângulo com cateto oposto x e cateto adjacente 1; a hipotenusa vale
\sqrt{1+x^2}.
Assim
\cos\theta=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
Portanto
\cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Passo 5

Agora volte à regra da cadeia e junte os pedaços:
f'(x)=\cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big)\cdot\frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big) =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}.
Multiplicando as potências:
f'(x)=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}.

Passo 6

(Só para consolidar: alternativa rápida) Outra forma de ver o mesmo resultado é primeiro simplificar a função usando o triângulo:
\operatorname{sen}\!\big(\operatorname{tg}^{-1}x\big)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},
e então derivar usando regra do produto/quotient rule. Fazendo isso chega-se ao mesmo resultado \dfrac{1}{(1+x^2)^{3/2}}. Isso é útil se preferir manipular funções antes de derivar.

Resposta

\dfrac{1}{(1+x^2)^{3/2}}

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