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Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informação dada: a função é
Informação dada: a função é
Objetivo: calcular
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação curta e didática): se
, então
Aqui
e
. Portanto
Agora precisamos de duas coisas:
em função de
e
.
Passo 3
Derivada de
(motivação por diferenciação implícita). Seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Logo
Mas
e como
temos
(Resumo: esta é a fórmula conhecida
; aqui usei
para o arctangente.)
Passo 4
Calcular
usando um triângulo retângulo (método geométrico muito útil em provas). Seja
. Então
, isto é,
. Tome um triângulo com cateto oposto
e cateto adjacente
; a hipotenusa vale
Assim
Portanto
Passo 5
Agora volte à regra da cadeia e junte os pedaços:
Multiplicando as potências:
Passo 6
(Só para consolidar: alternativa rápida) Outra forma de ver o mesmo resultado é primeiro simplificar a função usando o triângulo:
e então derivar usando regra do produto/quotient rule. Fazendo isso chega-se ao mesmo resultado
. Isso é útil se preferir manipular funções antes de derivar.