(a) \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10)

Passo 1

O enunciado pede para calcular claramente a expressão \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10).
Informações dadas e relevantes:
  • O número fornecido é 10 (um número real).
  • As funções envolvidas são \operatorname{arctg} (arco-tangente) e \operatorname{tg} (tangente).
  • A tarefa é avaliar a composição da função tangente com a arco-tangente aplicada ao número 10.

Passo 2

Definição e propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática):
  • Para um número real qualquer y, \theta=\operatorname{arctg} y significa que \theta é o ângulo no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) tal que
\operatorname{tg}\theta = y.
  • Em palavras simples: \operatorname{arctg} dá o ângulo cuja tangente é o número de entrada.
  • A função \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) é a inversa da função \operatorname{tg} quando esta última é restringida ao intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Por isso, compostos do tipo \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) devolvem x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto:
  • Seja \theta = \operatorname{arctg} 10. Pela definição de \operatorname{arctg},
\operatorname{tg}\theta = 10.
  • Agora observe a composição pedida:
\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10) = \operatorname{tg}\theta.
  • Como já sabemos que \operatorname{tg}\theta=10, segue que a expressão vale 10.

Passo 4

Interpretação geométrica (ajuda a fixar a ideia):
  • Pode imaginar um triângulo retângulo em que o cateto oposto vale 10 e o cateto adjacente vale 1. Então a tangente do ângulo agudo é \dfrac{10}{1}=10. O arco-tangente de 10 recupera esse ângulo, e a tangente desse ângulo volta a ser 10. Isso reforça a propriedade inversa que usamos.

Passo 5

Aviso rápido sobre armadilhas (para a prova):
  • A identidade \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)=x vale para todo x\in\mathbb{R}.
  • Já a outra composição \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) nem sempre é igual a x, porque a tangente é periódica e \operatorname{arctg} retorna sempre um ângulo na faixa (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Então cuidado ao inverter a ordem das funções.

Resposta

10

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