(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular claramente a expressão
.
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- O número fornecido é
(um número real). - As funções envolvidas são
(arco-tangente) e (tangente). - A tarefa é avaliar a composição da função tangente com a arco-tangente aplicada ao número
.
Passo 2
Definição e propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática):
- Para um número real qualquer
, significa que é o ângulo no intervalo tal que
- Em palavras simples:
dá o ângulo cuja tangente é o número de entrada. - A função
é a inversa da função quando esta última é restringida ao intervalo . Por isso, compostos do tipo devolvem para todo .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto:
- Seja
. Pela definição de ,
- Agora observe a composição pedida:
- Como já sabemos que
, segue que a expressão vale .
Passo 4
Interpretação geométrica (ajuda a fixar a ideia):
- Pode imaginar um triângulo retângulo em que o cateto oposto vale
e o cateto adjacente vale . Então a tangente do ângulo agudo é . O arco-tangente de recupera esse ângulo, e a tangente desse ângulo volta a ser . Isso reforça a propriedade inversa que usamos.
Passo 5
Aviso rápido sobre armadilhas (para a prova):
- A identidade
vale para todo . - Já a outra composição
nem sempre é igual a , porque a tangente é periódica e retorna sempre um ângulo na faixa . Então cuidado ao inverter a ordem das funções.