Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\cos (x+y)

Passo 1

O enunciado dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \cos y = \tfrac{4}{5} com x,y\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Queremos avaliar \cos(x+y).
Conteúdo envolvido: identidades trigonométricas (teorema de Pitágoras e fórmula da soma de ângulos).

Passo 2

Como \sin x=\tfrac{1}{3} e x está no primeiro quadrante, temos
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

De modo análogo, como \cos y=\tfrac{4}{5} e y está no primeiro quadrante,
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
\cos(x+y) = \cos x\,\cos y - \sin x\,\sin y.
Substituindo os valores:
\cos(x+y) = \Bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr) = \tfrac{8\sqrt{2}}{15} - \tfrac{3}{15} = \tfrac{8\sqrt{2} - 3}{15}.

Resposta

\cos(x+y) = \frac{8\sqrt{2} - 3}{15}.

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