Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\cos (x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá \sin x = \frac{1}{3} e \cos y = \frac{4}{5} com x,y\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] e pede \cos(x-y). Vamos usar identidades trigonométricas: Pitágoras para obter as funções faltantes e a fórmula de diferença de ângulos para o cosseno.

Passo 2

Aplicando \sin^2 x + \cos^2 x = 1 obtemos
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Aplicando \sin^2 y + \cos^2 y = 1 obtemos
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

A identidade de cosseno para diferença de ângulos é
\cos(x-y) = \cos x \,\cos y \;+\;\sin x \,\sin y.

Passo 5

Substituindo \cos x=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}, \cos y=\tfrac{4}{5}, \sin x=\tfrac{1}{3} e \sin y=\tfrac{3}{5}, temos
\cos(x-y) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{4}{5} \;+\; \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{15} + \frac{1}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8\sqrt{2} + 3}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\sqrt{2} + 3}{15}

Exercícios relacionados