Se \operatorname{sen} x+\cos x=5 / 6, entäo sen( 2 x ) e igual a:
Escolha uma opcäo:
◯ a. -13/36
◯ b. -11 / 36
◯ c. -7/36
◯ d. -19/36
◯ e. -17/36

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\sin x + \cos x = \tfrac{5}{6}
e pede para determinar o valor de
\sin(2x).
Informações relevantes: a soma \sin x+\cos x está conhecida numericamente; precisamos transformar isso em algo que envolva \sin(2x).

Passo 2

Uma ideia útil é elevar a soma ao quadrado usando a identidade de quadrado de uma soma. Lembrando que para quaisquer números a e b vale
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
aplicando com a=\sin x e b=\cos x obtemos
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x.

Passo 3

Agora usamos a identidade pitagórica das funções trigonométricas:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Substituindo isso na expressão do passo anterior dá
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x.

Passo 4

Reconhecemos a identidade do ângulo duplo para seno:
\sin(2x) = 2\sin x\cos x.
Substituindo em (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x obtemos a relação direta
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin(2x).
Isolando \sin(2x) resulta
\sin(2x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1.

Passo 5

Agora basta substituir o valor dado \sin x+\cos x=\tfrac{5}{6}. Calculando o quadrado:
\left(\tfrac{5}{6}\right)^2 = \tfrac{25}{36}.
Portanto
\sin(2x) = \tfrac{25}{36} - 1 = \tfrac{25}{36} - \tfrac{36}{36} = -\tfrac{11}{36}.

Passo 6

Checagem rápida (só para ficar tranquilo): não há ambiguidade de sinal aqui porque a derivação usou identidades algébricas e trigonométricas verdadeiras para todo x; a relação entre \sin x+\cos x e \sin(2x) é única como obtida.

Resposta

b) -\dfrac{11}{36}

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