Use o método da bissecção para encontrar a aproximação do zero de f(x) gerada após 3 iterações. Em que f(x)=\sqrt{x}-\cos x, no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método da bissecção para obter a aproximação do zero de f(x) após 3 iterações. Os dados fornecidos são:
  • A função é \;f(x)=\sqrt{x}-\cos x\;.
  • O intervalo inicial é \;[0,1]\;.
    O objetivo concreto: aplicar a bissecção três vezes e apresentar a aproximação do zero gerada por essas três iterações.

Passo 2

Breve explicação didática do método da bissecção (para eu saber o que fazer na prova).
  • Dado um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz de f em [a,b].
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 a raiz foi encontrada exatamente. Se f\text{(c)}\neq0, escolhe-se o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal: ou [a,c] se f(a)\cdot f\text{(c)}<0, ou [c,b] se f\text{(c)}\cdot f(b)<0.
  • Repetir o procedimento; a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade, e a aproximação usual após n iterações é o ponto médio calculado na n-ésima iteração.

Passo 3

Verificar o critério inicial \;f(a)\cdot f(b)<0 com a=0 e b=1.
  • Calcular f(0):
f(0)=\sqrt{0}-\cos 0=0-1=-1.
  • Calcular f(1):
f(1)=\sqrt{1}-\cos 1=1-\cos 1\approx 1-0,540302306\approx 0,459697694.
Como
f(0)=-1<0\quad\text{e}\quad f(1)\approx 0,459697694>0,
temos f(0)\cdot f(1)<0. Logo existe pelo menos uma raiz em [0,1] e podemos aplicar a bissecção.

Passo 4

Primeira iteração (iteração 1):
  • Ponto médio
c_1=\frac{0+1}{2}=0,5.
  • Avaliar f(0,5):
\sqrt{0,5}\approx 0,707106781,\qquad \cos 0,5\approx 0,877582562,
f(0,5)=\sqrt{0,5}-\cos 0,5\approx 0,707106781-0,877582562\approx -0,170475781.
Como f(0)=-1<0 e f(0,5)\approx -0,170475781<0, o sinal não mudou em [0,0,5]. Portanto a raiz está no subintervalo oposto [0,5,1]=[0,5] — escrito corretamente: a nova condição é usar o intervalo [0{,}5,\,1], isto é, [0{,}5,\,1] significa [0{,}5,\,1]. Mais claro: como f(0,5)<0 e f(1)>0, escolhemos o novo intervalo
[a,b]=[0{,}5,\;1].

Passo 5

Segunda iteração (iteração 2):
  • Ponto médio
c_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliar f(0,75):
\sqrt{0,75}\approx 0,866025404,\qquad \cos 0,75\approx 0,731688869,
f(0,75)=\sqrt{0,75}-\cos 0,75\approx 0,866025404-0,731688869\approx 0,134336535.
Agora f(0,5)\approx -0,170475781<0 e f(0,75)\approx 0,134336535>0, então o sinal muda no intervalo [0{,}5,\,0{,}75]. Portanto o novo intervalo que contém a raiz é
[a,b]=[0{,}5,\;0{,}75].

Passo 6

Terceira iteração (iteração 3):
  • Ponto médio
c_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
  • Avaliar f(0,625):
\sqrt{0,625}\approx 0,790569415,\qquad \cos 0,625\approx 0,810961700,
(obtido pela expansão em série ou tabela; aproximando)
f(0,625)=\sqrt{0,625}-\cos 0,625\approx 0,790569415-0,810961700\approx -0,020392285.
Como f(0{,}625)\approx -0,020392285<0 e f(0{,}75)\approx 0,134336535>0, a raiz está no intervalo [0{,}625,\;0{,}75] após estas três iterações.
Observação didática rápida sobre erro: após 3 iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é \dfrac{1-0}{2^3}=\dfrac{1}{8}=0,125. O ponto médio que obtivemos na terceira iteração é a aproximação natural fornecida pelo método.

Resposta

\,0,625

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