Use o método da bissecção para encontrar a aproximação do zero de
gerada após 3 iterações. Em que
, no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método da bissecção para obter a aproximação do zero de
após 3 iterações. Os dados fornecidos são:
- A função é
. - O intervalo inicial é
.
O objetivo concreto: aplicar a bissecção três vezes e apresentar a aproximação do zero gerada por essas três iterações.
Passo 2
Breve explicação didática do método da bissecção (para eu saber o que fazer na prova).
- Dado um intervalo
tal que , existe pelo menos uma raiz de em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se a raiz foi encontrada exatamente. Se , escolhe-se o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal: ou se , ou se . - Repetir o procedimento; a cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade, e a aproximação usual após
iterações é o ponto médio calculado na -ésima iteração.
Passo 3
Verificar o critério inicial
com
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Como
temos
. Logo existe pelo menos uma raiz em
e podemos aplicar a bissecção.
Passo 4
Primeira iteração (iteração 1):
- Ponto médio
- Avaliar
:
Como
e
, o sinal não mudou em
. Portanto a raiz está no subintervalo oposto
— escrito corretamente: a nova condição é usar o intervalo
, isto é,
significa
. Mais claro: como
e
, escolhemos o novo intervalo
Passo 5
Segunda iteração (iteração 2):
- Ponto médio
- Avaliar
:
Agora
e
, então o sinal muda no intervalo
. Portanto o novo intervalo que contém a raiz é
Passo 6
Terceira iteração (iteração 3):
- Ponto médio
- Avaliar
:
(obtido pela expansão em série ou tabela; aproximando)
Como
e
, a raiz está no intervalo
após estas três iterações.
Observação didática rápida sobre erro: após 3 iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
. O ponto médio que obtivemos na terceira iteração é a aproximação natural fornecida pelo método.