O polinômio de grau 4
tem duas raízes reais, uma em
e outra em
. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
Método da falsa posição
Método da falsa posição
Passo 1
O enunciado nos dá o polinómio
e informa que há duas raízes reais: uma em
e outra em
. A tarefa é aplicar o método da falsa posição (regula falsi), realizar três iterações para cada uma dessas duas raízes e comparar o desempenho entre os dois casos.
Informações relevantes fornecidas:
- Polinómio:
. - Intervalos que contêm uma raiz cada:
e . - Fazer exatamente três iterações do método da falsa posição em cada intervalo e comparar os resultados.
Passo 2
O que é o método da falsa posição e como funciona (explicação didática):
- A ideia é aproximar a raiz por intersecção da reta que liga os pontos
e com o eixo . Essa intersecção é um ponto entre e . - Fórmula da falsa posição (secante adaptada ao intervalo):
Aqui:
-
e são as extremidades do intervalo atual com . -
e são os valores da função nas extremidades. -
é a nova aproximação obtida pela intersecção da reta com o eixo . - Critério para atualizar o intervalo:
- Calcula-se
. - Se
, a nova raiz está em e escolhe-se . - Se
, a nova raiz está em e escolhe-se . - Se
então é a raiz exata.
- Calcula-se
- Observação prática e pedagógica: a falsa posição preserva sempre um extremo do intervalo (aquele cujo
tem sinal “grande” pode ficar preso), o que pode levar a convergência lenta em alguns casos. Mais à frente faço comentários comparativos.
Agora aplico o método passo a passo nos dois intervalos, três iterações cada, mostrando cálculos das potências e dos termos para que seja possível reproduzir sem calculadora (com aproximações numéricas razoáveis).
Passo 3
Intervalo
— Iteração 1
- Avaliações nas extremidades:
Logo
e
, confirmação do sinal oposto — raiz em
.
- Aplicando a fórmula da falsa posição com
, :
Calculemos passo a passo:
- Avaliando
(faço termo a termo para clareza):
.
Somando:
Como
e
, a raiz fica em
. Então o novo intervalo é
Passo 4
Intervalo
— Iteração 2
- Usando
com e com :
Calculemos as quantidades:
- Avaliando
com :
Somando:
Como
e
, novo intervalo é
Passo 5
Intervalo
— Iteração 3
- Com
( ) e ( ):
- Avaliando
com :
Somando:
Assim, após três iterações a aproximação obtida no intervalo
é
Passo 6
Intervalo
— Iteração 1
- Avaliações nas extremidades:
Temos
e
, portanto raiz em
.
- Aplicando a fórmula com
, :
- Avaliando
:
Somando:
Aqui
e tem mesmo sinal de
, portanto agora a nova extremidade esquerda é
e
.
Passo 7
Intervalo
— Iteração 2
- Com
( ) e ( ):
- Avaliando
com (cálculo termo a termo):
Somando:
Portanto
e o novo intervalo fica
com
.
Passo 8
Intervalo
— Iteração 3
- Com
( ) e ( ):
- Avaliando
com :
Somando:
Após três iterações a aproximação obtida no intervalo
é
Passo 9
Comparação de desempenho e observações (explicação didática + interpretação dos números)
-
Sequência de aproximações:
- Para a raiz em
: . - Para a raiz em
: .
- Para a raiz em
-
Velocidade de movimento das aproximações (diferenças entre iterações):
- Em
: , — movimentos cada vez menores (convergência lenta). - Em
: , — movimento grande na 2ª iteração e menor na 3ª, mais rápido que no caso anterior nas primeiras três iterações.
- Em
-
Por que essa diferença? A falsa posição tende a manter o extremo cujo valor absoluto de
é maior fixo, e apenas o outro extremo se move. No caso temos muito grande em valor absoluto comparado com os valores em torno de zero; isso faz com que o ponto permaneça preso e a aproximação avance muito lentamente para a raiz, pois a reta que cruza o eixo fica muito próxima do extremo com grande. No caso a função nos primeiros passos permitiu movimentos maiores do extremo esquerdo (de para e para ), por isso a aproximação se deslocou mais rapidamente em duas primeiras iterações. -
Conclusão prática: depois de três iterações a aproximação obtida em
está bem mais próxima do extremo direito e se deslocou mais; a aproximação em se deslocou muito pouco. Esse é um comportamento típico da falsa posição quando os valores de nas extremidades têm magnitudes muito desiguais. Métodos modificados (Illinois, Anderson–Björck) corrigem esse “bloqueio” e aceleram a convergência em casos assim.
Resposta
Para
:
Para
: