O polinômio de grau 4
f(x)=230 x^{4}+18 x^{3}+9 x^{2}-221 x-9
tem duas raízes reais, uma em [-1,0] e outra em [0,1]. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
Método da falsa posição

Passo 1

O enunciado nos dá o polinómio
f(x)=230x^{4}+18x^{3}+9x^{2}-221x-9
e informa que há duas raízes reais: uma em [-1,0] e outra em [0,1]. A tarefa é aplicar o método da falsa posição (regula falsi), realizar três iterações para cada uma dessas duas raízes e comparar o desempenho entre os dois casos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Polinómio: f(x)=230x^{4}+18x^{3}+9x^{2}-221x-9.
  • Intervalos que contêm uma raiz cada: [-1,0] e [0,1].
  • Fazer exatamente três iterações do método da falsa posição em cada intervalo e comparar os resultados.

Passo 2

O que é o método da falsa posição e como funciona (explicação didática):
  • A ideia é aproximar a raiz por intersecção da reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Essa intersecção é um ponto c entre a e b.
  • Fórmula da falsa posição (secante adaptada ao intervalo):
c = b - f(b)\,\frac{a-b}{f(a)-f(b)}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades do intervalo atual com f(a)\cdot f(b)<0.
  • f(a) e f(b) são os valores da função nas extremidades.
  • c é a nova aproximação obtida pela intersecção da reta com o eixo x.
  • Critério para atualizar o intervalo:
    • Calcula-se f\text{(c)}.
    • Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0, a nova raiz está em [a,c] e escolhe-se b\leftarrow c.
    • Se f\text{(c)}\cdot f(b)<0, a nova raiz está em [c,b] e escolhe-se a\leftarrow c.
    • Se f\text{(c)}=0 então c é a raiz exata.
  • Observação prática e pedagógica: a falsa posição preserva sempre um extremo do intervalo (aquele cujo f tem sinal “grande” pode ficar preso), o que pode levar a convergência lenta em alguns casos. Mais à frente faço comentários comparativos.
Agora aplico o método passo a passo nos dois intervalos, três iterações cada, mostrando cálculos das potências e dos termos para que seja possível reproduzir sem calculadora (com aproximações numéricas razoáveis).

Passo 3

Intervalo [-1,0] — Iteração 1
  • Avaliações nas extremidades:
f(-1)=230( -1)^{4}+18(-1)^{3}+9(-1)^{2}-221(-1)-9
\quad=230-18+9+221-9=433.
f(0)= -9.
Logo f(-1)=433>0 e f(0)=-9<0, confirmação do sinal oposto — raiz em [-1,0].
  • Aplicando a fórmula da falsa posição com a=-1, b=0:
c_{1}=b - f(b)\,\frac{a-b}{f(a)-f(b)} =0 - (-9)\,\frac{-1-0}{433-(-9)}.
Calculemos passo a passo:
a-b=-1,\qquad f(b)=-9,\qquad f(a)-f(b)=433-(-9)=442,
f(b)(a-b)=(-9)(-1)=9,\qquad c_{1}=0-\frac{9}{442}=-\frac{9}{442}\approx -0,020361.
  • Avaliando f(c_{1}) (faço termo a termo para clareza):
    x=c_{1}\approx -0,020361.
x^{2}\approx 0,0004146,\quad x^{3}\approx -8,444\times10^{-6},\quad x^{4}\approx 1,719\times10^{-7}.
230x^{4}\approx 0,0000395,\quad 18x^{3}\approx -0,0001520,\quad 9x^{2}\approx 0,0037314,
-221x\approx +4,499781,\quad \text{constante }-9.
Somando:
f(c_{1})\approx 0,0000395-0,0001520+0,0037314+4,499781-9\approx -4,4966.
Como f(c_{1})<0 e f(-1)>0, a raiz fica em [-1,c_{1}]. Então o novo intervalo é
a_{1}=-1,\qquad b_{1}=c_{1}\approx -0,020361.

Passo 4

Intervalo [-1,0] — Iteração 2
  • Usando a_{1}=-1 com f(a_{1})=433 e b_{1}=-0,020361 com f(b_{1})\approx -4,4966:
c_{2}=b_{1}-f(b_{1})\,\frac{a_{1}-b_{1}}{f(a_{1})-f(b_{1})}.
Calculemos as quantidades:
a_{1}-b_{1}=-1-(-0,020361)=-0,979639,
f(a_{1})-f(b_{1})=433-(-4,4966)=437,4966,
f(b_{1})(a_{1}-b_{1})\approx (-4,4966)(-0,979639)\approx 4,40505.
c_{2}\approx -0,020361 - \frac{4,40505}{437,4966}\approx -0,020361 -0,010066\approx -0,030427.
  • Avaliando f(c_{2}) com x\approx -0,030427:
x^{2}\approx 0,00092578,\quad x^{3}\approx -2,816\times10^{-5},\quad x^{4}\approx 8,571\times10^{-7}.
230x^{4}\approx 0,0001971,\quad 18x^{3}\approx -0,0005069,\quad 9x^{2}\approx 0,0083320,
-221x\approx +6,724367,\quad -9.
Somando:
f(c_{2})\approx 0,0001971-0,0005069+0,0083320+6,724367-9\approx -2,26761.
Como f(c_{2})<0 e f(a_{1})>0, novo intervalo é
a_{2}=-1,\qquad b_{2}=c_{2}\approx -0,030427.

Passo 5

Intervalo [-1,0] — Iteração 3
  • Com a_{2}=-1 ( f=433) e b_{2}=-0,030427 ( f\approx -2,26761):
a_{2}-b_{2}=-1-(-0,030427)=-0,969573,
f(a_{2})-f(b_{2})=433-(-2,26761)=435,26761,
f(b_{2})(a_{2}-b_{2})\approx (-2,26761)(-0,969573)\approx 2,198615.
c_{3}\approx b_{2}-\frac{2,198615}{435,26761}\approx -0,030427 -0,005050\approx -0,035477.
  • Avaliando f(c_{3}) com x\approx -0,035477:
x^{2}\approx 0,0012586,\quad x^{3}\approx -4,462\times10^{-5},\quad x^{4}\approx 1,583\times10^{-6},
230x^{4}\approx 0,0003641,\quad 18x^{3}\approx -0,0008032,\quad 9x^{2}\approx 0,0113274,
-221x\approx +7,840417,\quad -9.
Somando:
f(c_{3})\approx 0,0003641-0,0008032+0,0113274+7,840417-9\approx -1,148695.
Assim, após três iterações a aproximação obtida no intervalo [-1,0] é
c_{3}\approx -0,035477,\qquad f(c_{3})\approx -1,148695.

Passo 6

Intervalo [0,1] — Iteração 1
  • Avaliações nas extremidades:
f(0)=-9,\qquad f(1)=230+18+9-221-9=27.
Temos f(0)=-9<0 e f(1)=27>0, portanto raiz em [0,1].
  • Aplicando a fórmula com a=0, b=1:
c_{1}=1 - 27\,\frac{0-1}{-9-27}=1 - 27\cdot\frac{-1}{-36}=1 - \frac{27}{36}=1-\frac{3}{4}=0,25.
c_{1}=0,25 exatamente.
  • Avaliando f(0,25):
x=0,25,\quad x^{2}=0,0625,\\ x^{3}=0,015625,\\ x^{4}=0,00390625.
230x^{4}=0,8984375,\quad 18x^{3}=0,28125,\quad 9x^{2}=0,5625,
-221x=-55,25,\quad -9.
Somando:
f(0,25)\approx 0,8984375+0,28125+0,5625-55,25-9\approx -62,5078125.
Aqui f(c_{1})<0 e tem mesmo sinal de f(0), portanto agora a nova extremidade esquerda é a_{1}=c_{1}=0,25 e b_{1}=1.

Passo 7

Intervalo [0,1] — Iteração 2
  • Com a_{1}=0,25 ( f\approx -62,5078125) e b_{1}=1 ( f=27):
a_{1}-b_{1}=0,25-1=-0,75,
f(a_{1})-f(b_{1})=-62,5078125-27=-89,5078125,
f(b_{1})(a_{1}-b_{1})=27\cdot(-0,75)=-20,25,
c_{2}=1 - \frac{-20,25}{-89,5078125}=1 - \frac{20,25}{89,5078125}\approx 1-0,226256\approx 0,773744.
  • Avaliando f(c_{2}) com x\approx 0,773744 (cálculo termo a termo):
x^{2}\approx 0,598673,\quad x^{3}\approx 0,463220,\quad x^{4}\approx 0,358410,
230x^{4}\approx 82,433254,\quad 18x^{3}\approx 8,3379546,\quad 9x^{2}\approx 5,3880572,
-221x\approx -170,9974461,\quad -9.
Somando:
f(c_{2})\approx 82,433254+8,3379546+5,3880572-170,9974461-9\approx -83,8381803.
Portanto f(c_{2})<0 e o novo intervalo fica [a_{2}=c_{2},\,b_{2}=1] com a_{2}\approx 0,773744.

Passo 8

Intervalo [0,1] — Iteração 3
  • Com a_{2}\approx 0,773744 ( f\approx -83,8381803) e b_{2}=1 ( f=27):
a_{2}-b_{2}\approx -0,226256,\qquad f(a_{2})-f(b_{2})\approx -110,8381803,
f(b_{2})(a_{2}-b_{2})\approx 27\cdot(-0,226256)\approx -6,1089,
c_{3}\approx 1 - \frac{-6,1089}{-110,8381803}\approx 1 - 0,055119\approx 0,944881.
  • Avaliando f(c_{3}) com x\approx 0,944881:
x^{2}\approx 0,892802,\quad x^{3}\approx 0,843590,\quad x^{4}\approx 0,797094,
230x^{4}\approx 183,331,\quad 18x^{3}\approx 15,18462,\quad 9x^{2}\approx 8,035216,
-221x\approx -208,818701,\quad -9.
Somando:
f(c_{3})\approx 183,331+15,18462+8,035216-208,818701-9\approx -11,26768.
Após três iterações a aproximação obtida no intervalo [0,1] é
c_{3}\approx 0,944881,\qquad f(c_{3})\approx -11,26768.

Passo 9

Comparação de desempenho e observações (explicação didática + interpretação dos números)
  • Sequência de aproximações:
    • Para a raiz em [-1,0]: c_{1}\approx -0,020361,\; c_{2}\approx -0,030427,\; c_{3}\approx -0,035477.
    • Para a raiz em [0,1]: c_{1}=0,25,\; c_{2}\approx 0,773744,\; c_{3}\approx 0,944881.
  • Velocidade de movimento das aproximações (diferenças entre iterações):
    • Em [-1,0]: |c_{2}-c_{1}|\approx 0,010066, |c_{3}-c_{2}|\approx 0,005050 — movimentos cada vez menores (convergência lenta).
    • Em [0,1]: |c_{2}-c_{1}|\approx 0,523744, |c_{3}-c_{2}|\approx 0,171137 — movimento grande na 2ª iteração e menor na 3ª, mais rápido que no caso anterior nas primeiras três iterações.
  • Por que essa diferença? A falsa posição tende a manter o extremo cujo valor absoluto de f é maior fixo, e apenas o outro extremo se move. No caso [-1,0] temos f(-1)=433 muito grande em valor absoluto comparado com os valores em torno de zero; isso faz com que o ponto a=-1 permaneça preso e a aproximação avance muito lentamente para a raiz, pois a reta que cruza o eixo fica muito próxima do extremo com f grande. No caso [0,1] a função nos primeiros passos permitiu movimentos maiores do extremo esquerdo (de 0 para 0,25 e para 0,7737), por isso a aproximação se deslocou mais rapidamente em duas primeiras iterações.
  • Conclusão prática: depois de três iterações a aproximação obtida em [0,1] está bem mais próxima do extremo direito e se deslocou mais; a aproximação em [-1,0] se deslocou muito pouco. Esse é um comportamento típico da falsa posição quando os valores de f nas extremidades têm magnitudes muito desiguais. Métodos modificados (Illinois, Anderson–Björck) corrigem esse “bloqueio” e aceleram a convergência em casos assim.

Resposta

Para [-1,0]: c_{3}\approx -0,035477,\\ f(c_{3})\approx -1,148695
Para [0,1]: c_{3}\approx 0,944881,\\ f(c_{3})\approx -11,267680

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