\operatorname{sen} y \cos x-\operatorname{sen} x \cos y=
A \operatorname{sen}(x+y)
B \operatorname{sen}(x-y)
C \cos (x+y)
D \cos (x-y)
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\operatorname{sen} y \cos x - \operatorname{sen} x \cos y
e pede que a identifiquemos entre as alternativas:
A \operatorname{sen}(x+y), B \operatorname{sen}(x-y), C \cos(x+y), D \cos(x-y), E N.R.A.

Passo 2

Vou lembrar e demonstrar a fórmula para a soma e, a partir dela, obter a fórmula da diferença.
A fórmula da soma é
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A\cos B+\cos A\operatorname{sen}B.
Para passar da soma para a diferença, use que \operatorname{sen}(-B)=-\operatorname{sen}B e \cos(-B)=\cos B. Substituindo B por -B na fórmula da soma:
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen}A\cos(-B)+\cos A\operatorname{sen}(-B).
Agora aplique as propriedades do seno e cosseno de ângulo negativo:
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen}A\cos B+\cos A(-\operatorname{sen}B),
portanto
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen}A\cos B-\cos A\operatorname{sen}B.
Essa é a identidade do seno da diferença — é importante decorá-la e saber de onde vem.

Passo 3

Use a identidade da diferença com A=y e B=x. Substituindo na fórmula:
\operatorname{sen}(y-x)=\operatorname{sen}y\cos x-\cos y\operatorname{sen}x.
Como \cos y\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}x\cos y (a multiplicação é comutativa), obtemos exatamente
\operatorname{sen}y\cos x-\operatorname{sen}x\cos y=\operatorname{sen}(y-x).

Passo 4

Reescrevendo, também podemos notar a relação com \operatorname{sen}(x-y):
\operatorname{sen}(y-x)=-\operatorname{sen}(x-y).
Portanto a expressão dada é \operatorname{sen}(y-x), que em geral não coincide com \operatorname{sen}(x-y) (é o seu negativo). Também não coincide com \operatorname{sen}(x+y) nem com qualquer cosseno, porque essas têm sinais e combinações diferentes dos produtos \operatorname{sen}(\cdot)\cos(\cdot) presentes na identidade.

Passo 5

Um contraexemplo numérico rápido para fixar: tome x=1 e y=2 (radianos). Então
\operatorname{sen}y\cos x-\operatorname{sen}x\cos y\approx \operatorname{sen}(2)\cos(1)-\operatorname{sen}(1)\cos(2)\approx 0{,}84147,
enquanto
\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}(-1)\approx -0{,}84147,
e
\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(3)\approx 0{,}14112.
Isso confirma que a expressão é \operatorname{sen}(y-x) (número positivo neste caso) e não corresponde a nenhuma das alternativas A, B, C ou D.

Resposta

E

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