\frac{\operatorname{sen} 2 x}{\operatorname{sen} x}=
(A) \operatorname{sen}(3 x)
B \operatorname{sen} x
[C] 2 \cos x
D 2
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e identificar qual alternativa é igual a
\dfrac{\operatorname{sen}2x}{\operatorname{sen}x}.
As opções dadas são:
A \operatorname{sen}(3x)
B \operatorname{sen}x
C 2\cos x
D 2
E N.R.A.

Passo 2

Usando a identidade do seno da soma, para qualquer ângulo \alpha e \beta,
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Aplicando com \alpha=\beta=x (isto é, \sin(2x)=\sin(x+x)), temos
\sin(2x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x.
Aqui, \sin é a função seno, \cos é a função cosseno, e x é o ângulo variável.

Passo 3

Substituindo a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x na expressão inicial:
\frac{\sin(2x)}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}.
Usando a propriedade de cancelamento de fatores (se a\neq0 então \dfrac{a\cdot b}{a}=b) com a=\sin x e b=2\cos x,
\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x,
desde que \sin x\neq0 (não se pode dividir por zero).

Passo 4

Comentário sobre domínio: a simplificação é válida para todos os x tais que \sin x\neq0, pois nesses pontos a expressão original está bem definida. Para os pontos onde \sin x=0 (ou seja, x=k\pi, com k\in\mathbb{Z}), a expressão \dfrac{\sin(2x)}{\sin x} é indefinida por divisão por zero. Entretanto, o valor limite quando x\to k\pi também coincide com 2\cos x naquele ponto; por exemplo, pode-se aplicar L’Hôpital ou observar que a razão tende a 2\cos(k\pi)=2(-1)^k. Mas para responder a questão de simplificação algébrica em geral, a forma correta é 2\cos x com a ressalva \sin x\neq0.

Passo 5

Verificação numérica rápida:
  • Para x=\dfrac{\pi}{6}: \sin(2x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin x=\dfrac{1}{2}. Então \dfrac{\sin(2x)}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}. Já 2\cos x=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. Confere.
  • Para x=\dfrac{\pi}{4}: \dfrac{\sin(\pi/2)}{\sin(\pi/4)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2} e 2\cos(\pi/4)=2\cdot\sqrt{2}/2=\sqrt{2}. Confere.
Esses testes mostram que a simplificação está correta onde a expressão original é definida.

Passo 6

Conclusão: a simplificação algébrica de \dfrac{\operatorname{sen}2x}{\operatorname{sen}x} é 2\cos x (valendo para \sin x\neq0; nos pontos \sin x=0 a expressão original é indefinida).

Resposta

C 2\cos x

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