\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}=
(A) \operatorname{cossec} x
B \operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x
C \operatorname{cotg} x
D \operatorname{sec} x
(E) N.R.A.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}
e escolher a alternativa correta entre:
(A) \operatorname{cossec} x
(B) \operatorname{cossec} x\\ \operatorname{cotg} x
(C) \operatorname{cotg} x
(D) \operatorname{sec} x
(E) N.R.A.
Informações dadas (explicitadas):
A expressão original é \dfrac{\tan x}{\operatorname{sen} x}.
As funções trigonométricas aparecem nas formas usuais (\tan, \operatorname{sen}, \operatorname{sec}, \operatorname{cotg}, \operatorname{cossec}).
Deve-se considerar as restrições de domínio necessárias para que a expressão faça sentido (denominadores não nulos).
Passo 2
Relembrando as definições básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
A tangente é definida por
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
onde \sin x é a função seno e \cos x é a função cosseno.
A secante é definida por
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
A cossecante (cosecante) é
\operatorname{cosec}\,x=\csc x=\frac{1}{\sin x},
e a cotangente é
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},
às vezes escrita \operatorname{cotg} x.
Observação sobre domínio: para que \tan x exista é necessário \cos x\neq 0; para dividir por \operatorname{sen} x é necessário \sin x\neq 0. Portanto, durante as manipulações iremos assumir \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0 (caso contrário a expressão original não está definida).
Passo 3
Agora substituímos a definição de \tan x na expressão original:
Portanto a simplificação da expressão original é \operatorname{sec} x. Relembrando o domínio: a igualdade vale nos pontos onde \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0, que são precisamente os pontos em que a expressão inicial está definida.
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança (opcional): para x=\dfrac{\pi}{4} tem-se