\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}=
(A) \operatorname{cossec} x
B \operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x
C \operatorname{cotg} x
D \operatorname{sec} x
(E) N.R.A.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}
e escolher a alternativa correta entre:
  • (A) \operatorname{cossec} x
  • (B) \operatorname{cossec} x\\ \operatorname{cotg} x
  • (C) \operatorname{cotg} x
  • (D) \operatorname{sec} x
  • (E) N.R.A.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão original é \dfrac{\tan x}{\operatorname{sen} x}.
  • As funções trigonométricas aparecem nas formas usuais ( \tan, \operatorname{sen}, \operatorname{sec}, \operatorname{cotg}, \operatorname{cossec}).
  • Deve-se considerar as restrições de domínio necessárias para que a expressão faça sentido (denominadores não nulos).

Passo 2

Relembrando as definições básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A tangente é definida por
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
onde \sin x é a função seno e \cos x é a função cosseno.
  • A secante é definida por
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
  • A cossecante (cosecante) é
\operatorname{cosec}\,x=\csc x=\frac{1}{\sin x},
e a cotangente é
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},
às vezes escrita \operatorname{cotg} x.
Observação sobre domínio: para que \tan x exista é necessário \cos x\neq 0; para dividir por \operatorname{sen} x é necessário \sin x\neq 0. Portanto, durante as manipulações iremos assumir \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0 (caso contrário a expressão original não está definida).

Passo 3

Agora substituímos a definição de \tan x na expressão original:
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x} = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}.
Aqui escrevemos \tan x como uma fração e estamos dividindo essa fração por \sin x.

Passo 4

Dividir uma fração por \sin x é o mesmo que multiplicar pela sua inversa. Assim:
\frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x}.
Como estamos assumindo \sin x\neq 0, podemos cancelar o fator \sin x no numerador com o fator \sin x no denominador, sobrando:
\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}.

Passo 5

Reconhecendo a definição da secante, temos
\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Portanto a simplificação da expressão original é \operatorname{sec} x. Relembrando o domínio: a igualdade vale nos pontos onde \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0, que são precisamente os pontos em que a expressão inicial está definida.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança (opcional): para x=\dfrac{\pi}{4} tem-se
\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
então
\frac{\tan x}{\sin x}\Big|_{x=\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2},
e
\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2},
ou seja, conferência ok.

Resposta

(D) \operatorname{sec} x

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