[Oppenheim et al., 1996, ex. 3.10] Seja x[n ] um sinal periódico real e ímpar, com período N=7 e coeficientes de Fourier ak. Sabendo que
a15=j, a16=2 j, a17=3 j
determine os valores de a0, a-1, a-2 e a-3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Temos um sinal periódico real e ímpar, com período $ N = 7 $. Os coeficientes de Fourier são $ a_k $. Sabemos que:
N = 7
Nos pedem para encontrar os valores de $ a_0 $, $ a_{-1} $, $ a_{-2} $ e $ a_{-3} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier para sinais periódicos, especialmente propriedades relacionadas à periodicidade e à simetria (sinal ímpar). Vamos usar conceitos como periodicidade dos coeficientes e relações entre coeficientes positivos e negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sinal periódico com período $ N $, os coeficientes de Fourier $ a_k $ são periódicos com o mesmo período. Ou seja:
N
Como $ N = 7 $, isso significa que:
ak
Vamos calcular $ 15 \mod 7 $:
ak + N = ak
Portanto:
N = 7

Passo 3

Aplicando a mesma lógica para $ a_{16} $:
a16
Calculando $ 16 \mod 7 $:
a16 = a16 mod 7 = a2
Portanto:
16 mod 7

Passo 4

Agora, para $ a_{17} $:
a17
Calculando $ 17 \mod 7 $:
a17 = a17 mod 7 = a3
Portanto:
17 mod 7

Passo 5

Sabemos que o sinal é real e ímpar. Algumas propriedades importantes:
  1. Sinal Real: Para sinais reais, os coeficientes negativos são o conjugado dos positivos:
a-k = ak
  1. Sinal Ímpar: Para sinais ímpares, os coeficientes de Fourier são puramente imaginários:
ak = -a-k
Além disso, para sinais ímpares, o coeficiente $ a_0 $ (média do sinal) é zero:
a0

Passo 6

Vamos encontrar $ a_{-1} $, $ a_{-2} $ e $ a_{-3} $ usando as propriedades acima.
Primeiro, identifiquemos quais $ a_k $ correspondem a esses índices negativos devido à periodicidade:
  • $ a_{-1} = a_{-1 \mod 7} = a_{6} $
  • $ a_{-2} = a_{-2 \mod 7} = a_{5} $
  • $ a_{-3} = a_{-3 \mod 7} = a_{4} $

Passo 7

Agora, precisamos expressar $ a_6 $, $ a_5 $ e $ a_4 $ em termos dos coeficientes que já conhecemos.
Sabemos que para sinais ímpares:
a6
Mas também, devido à periodicidade:
a5 ááí
Como $ a_{-1} = a_6 $, usando a propriedade do sinal ímpar:
a4
Portanto:
a-k = -ak

Passo 8

De forma similar, para $ a_{-2} = a_5 $:
a-2 = a5
Então:
a5 = -a2 = -2j

Passo 9

E para $ a_{-3} = a_4 $:
a-3 = a4
Portanto:
a4 = -a3 = -3j

Resposta

Os valores dos coeficientes são:
a0 = 0, a-1 = -j, a-2 = -2j, a-3 = -3j

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