[Oppenheim et al., 1996, ex. 3.10] Seja
] um sinal periódico real e ímpar, com período
e coeficientes de Fourier
. Sabendo que
determine os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Temos um sinal periódico real e ímpar, com período $ N = 7 $. Os coeficientes de Fourier são $ a_k $. Sabemos que:
Nos pedem para encontrar os valores de $ a_0 $, $ a_{-1} $, $ a_{-2} $ e $ a_{-3} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier para sinais periódicos, especialmente propriedades relacionadas à periodicidade e à simetria (sinal ímpar). Vamos usar conceitos como periodicidade dos coeficientes e relações entre coeficientes positivos e negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um sinal periódico com período $ N $, os coeficientes de Fourier $ a_k $ são periódicos com o mesmo período. Ou seja:
Como $ N = 7 $, isso significa que:
Vamos calcular $ 15 \mod 7 $:
Portanto:
Passo 3
Aplicando a mesma lógica para $ a_{16} $:
Calculando $ 16 \mod 7 $:
Portanto:
Passo 4
Agora, para $ a_{17} $:
Calculando $ 17 \mod 7 $:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que o sinal é real e ímpar. Algumas propriedades importantes:
- Sinal Real: Para sinais reais, os coeficientes negativos são o conjugado dos positivos:
- Sinal Ímpar: Para sinais ímpares, os coeficientes de Fourier são puramente imaginários:
Além disso, para sinais ímpares, o coeficiente $ a_0 $ (média do sinal) é zero:
Passo 6
Vamos encontrar $ a_{-1} $, $ a_{-2} $ e $ a_{-3} $ usando as propriedades acima.
Primeiro, identifiquemos quais $ a_k $ correspondem a esses índices negativos devido à periodicidade:
- $ a_{-1} = a_{-1 \mod 7} = a_{6} $
- $ a_{-2} = a_{-2 \mod 7} = a_{5} $
- $ a_{-3} = a_{-3 \mod 7} = a_{4} $
Passo 7
Agora, precisamos expressar $ a_6 $, $ a_5 $ e $ a_4 $ em termos dos coeficientes que já conhecemos.
Sabemos que para sinais ímpares:
Mas também, devido à periodicidade:
Como $ a_{-1} = a_6 $, usando a propriedade do sinal ímpar:
Portanto:
Passo 8
De forma similar, para $ a_{-2} = a_5 $:
Então:
Passo 9
E para $ a_{-3} = a_4 $:
Portanto:
Resposta
Os valores dos coeficientes são: