Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
  • Explicite o domínio da função.
  • Verifique se a função possui alguma simetria (se é par ou ímpar) ou se é periódica.
  • Determine o valor de f(0) se existir.
  • Localize, se possível, as raízes de f.
  • Calcule os limites de f para x +infty e x -infty.
  • Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Encontre os pontos críticos, determine os pontos de máximo e mínimo e calcule os seus valores.
  • Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão.
  • Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f não é contínua em p ou se f(p) não estiver definida, mas p for um extremo do domínio de f.
  • Determine as assíntotas.
    (d) f(x)=x+2x^2

Passo 1

Estamos estudando a função f(x)=x+tfrac2x^2. Vamos esboçar seu gráfico fazendo análise de domínio, simetria, valores em pontos especiais, limites, monotonicidade, extremos, concavidade e assíntotas.

Passo 2

Domínio: xneq0, logo Df=(-infty,0)cup(0,infty). A função não está definida em x=0. Verificando simetria: f(-x)=-x+2/x^2neq f(x) e f(-x)neq-f(x), então não é par nem ímpar. Não é periódica.

Passo 3

Raízes: resolvendo f(x)=0 temos x+2x^2=0iff x^3+2=0iff x=-raiz[3]2

Passo 4

Limites nos infinitos e em x=0:
limxto+inftyf(x)=+infty,limxto-inftyf(x)=-infty
Para xto0^+ ou 0^-, o termo 2/x^2to+infty domina, logo limxto0^pmf(x)=+infty

Passo 5

Monotonicidade: derivada
f'(x)=1-4x^3

Passo 6

Sinal de f':
  • Em x<0, x^3<0 f'(x)>0: crescente em (-infty,0).
  • Em 0, x^3<4 f'(x)<0: decrescente em (0,raiz[3]4).
  • Em x>raiz[3]4, x^3>4 f'(x)>0: crescente em (raiz[3]4,infty).

Resposta

O gráfico de f(x)=x+2/x^2 tem domínio (-infty,0)cup(0,infty), não é par nem ímpar e não é periódico. Possui raiz em x=-raiz[3]2. Cresce em (-infty,0) e em (raiz[3]4,infty), decresce em (0,raiz[3]4). Apresenta mínimo local em x=raiz[3]4 com f(raiz[3]4)=2^2/3+2^-1/3. A função é côncava para cima em todo o domínio, sem pontos de inflexão. Tem assíntota vertical em x=0 e assíntota oblíqua y=x.

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