[Oppenheim et al., 1996, ex. 3.4] Calcule os coeficientes
da Série de Fourier para o seguinte sinal periódico de tempo contínuo, com periodo fundamental
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os coeficientes $ a_{k} $ da Série de Fourier para um sinal periódico $ x(t) $ com período fundamental $ \omega_{0} = \pi $. O sinal é definido da seguinte forma:
Conteúdo envolvido: Série de Fourier para sinais periódicos no tempo contínuo. Vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série, especialmente os $ a_{k} $, que correspondem às componentes de cosseno na expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para um sinal periódico $ x(t) $ com período $ T $ é dada por:
Como queremos encontrar apenas os coeficientes $ a_{k} $, vamos focar na parte dos cossenos. Além disso, $ \omega_{0} $ é a frequência angular fundamental relacionando-se com o período $ T $ por $ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T} $.
No nosso caso, foi dado que $ \omega_{0} = \pi $, então o período $ T $ é:
Passo 3
Para calcular os coeficientes $ a_{k} $, usamos a fórmula:
Sabendo que $ T = 2 $ e $ \omega_{0} = \pi $, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos dividir a integral nos intervalos onde $ x(t) $ é definido:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de $ \cos(k \pi t) $:
Agora, aplicando os limites de integração:
- Para $ \int_{0}^{1} \cos(k \pi t) , dt $:
- Para $ \int_{1}^{2} \cos(k \pi t) , dt $:
Passo 6
Substituindo de volta nas expressões de $ a_{k} $:
Simplificando:
Passo 7
Sabemos que $ \sin(n \pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $. Portanto:
Substituindo na expressão de $ a_{k} $:
Resposta
Todos os coeficientes $ a_{k} $ da Série de Fourier são iguais a zero: