[Oppenheim et al., 1996, ex. 3.4] Calcule os coeficientes ak da Série de Fourier para o seguinte sinal periódico de tempo contínuo, com periodo fundamental omega0=pi
x(t)= 1.5, & 0 <= t<1 -1.5, & 1 <= t<2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os coeficientes $ a_{k} $ da Série de Fourier para um sinal periódico $ x(t) $ com período fundamental $ \omega_{0} = \pi $. O sinal é definido da seguinte forma:
ak
Conteúdo envolvido: Série de Fourier para sinais periódicos no tempo contínuo. Vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série, especialmente os $ a_{k} $, que correspondem às componentes de cosseno na expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier para um sinal periódico $ x(t) $ com período $ T $ é dada por:
x(t)
Como queremos encontrar apenas os coeficientes $ a_{k} $, vamos focar na parte dos cossenos. Além disso, $ \omega_{0} $ é a frequência angular fundamental relacionando-se com o período $ T $ por $ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T} $.
No nosso caso, foi dado que $ \omega_{0} = \pi $, então o período $ T $ é:
T

Passo 3

Para calcular os coeficientes $ a_{k} $, usamos a fórmula:
ak
Sabendo que $ T = 2 $ e $ \omega_{0} = \pi $, a fórmula fica:
ak = 2T integral0^T x(t) cos(k omega0 t) , dt

Passo 4

Vamos dividir a integral nos intervalos onde $ x(t) $ é definido:
x(t)
Isso simplifica para:
ak = integral0^1 1.5 cos(k pi t) , dt + integral1^2 (-1.5) cos(k pi t) , dt

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de $ \cos(k \pi t) $:
cos(k pi t)
Agora, aplicando os limites de integração:
  1. Para $ \int_{0}^{1} \cos(k \pi t) , dt $:
integral cos(k pi t) , dt = sin(k pi t)k pi + C
  1. Para $ \int_{1}^{2} \cos(k \pi t) , dt $:
integral0^1 cos(k pi t) , dt

Passo 6

Substituindo de volta nas expressões de $ a_{k} $:
ak
Simplificando:
ak = 1.5 ( sin(k pi)k pi ) - 1.5 ( sin(2k pi)k pi - sin(k pi)k pi )
ak = 1.5 ( sin(k pi)k pi ) - 1.5 ( sin(2k pi)k pi ) + 1.5 ( sin(k pi)k pi )

Passo 7

Sabemos que $ \sin(n \pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $. Portanto:
sin(n pi) = 0
Substituindo na expressão de $ a_{k} $:
n

Resposta

Todos os coeficientes $ a_{k} $ da Série de Fourier são iguais a zero:
ak

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