1. sumk=5^+infty(epi)^k-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumk=5^+infty l(tfracepir)^k-1. O conteúdo envolvido é série geométrica infinita e vamos precisar da fórmula de soma quando |r|<1.

Passo 2

Vamos identificar a razão r e reescrever o índice. Aqui temos o termo geral ak = r^k-1 com r = tfracepi. Como e/pi<1, a série converge.

Passo 3

Para simplificar a soma, fazemos a troca de variável n = k-1. Assim a soma vira
sumk=5^+infty l(tfracepir)^k-1 = sumn=4^+infty l(tfracepir)^n

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita iniciando em n=N:
sumn=N^+infty r^n = r^N1-r,
valendo para |r|<1. Aqui N=4 e r = tfracepi.

Passo 5

Substituindo, obtemos
sumn=4^+infty l(tfracepir)^n = (e/pi)^41 - (e/pi)

Passo 6

Podemos também simplificar o denominador:
1 - epi = pi - epi,
levando a
(e/pi)^41 - (e/pi) = e^4/pi^4(pi-e)/pi = e^4pi^3(pi - e)

Resposta

(e/pi)^41 - e/pi = e^4pi^3,(pi - e)

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