Um orifício de 17 cm de diâmetro, instalado em uma canalização de 250 mm de diâmetro, produziu uma diferença de carga piezométrica de 0,45 \mathrm{~m}. Determine a vazão da canalização. Considere C_{v}=0,61.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a vazão da canalização, dado um orifício e uma diferença de carga piezométrica. Dados fornecidos:
\;d_o=0,17\\ \mathrm{m} (diâmetro do orifício, convertido de 17\\ \mathrm{cm}),
\;D=0,25\\ \mathrm{m} (diâmetro da canalização, dado mas não será necessário na conta principal),
\;h=0,45\\ \mathrm{m} (diferença de carga piezométrica),
\;C_v=0,61 (coeficiente de descarga do orifício).
A pergunta é: qual é a vazão volumétrica Q que passa pelo orifício/canalização?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando um fluido escoa através de um orifício sob uma diferença de carga (ou diferença de níveis), a velocidade teórica na saída, pela equação de Torricelli (derivada de Bernoulli para um escoamento ideal), seria
v_{\text{teórica}}=\sqrt{2gh},ó
onde \;g é a aceleração da gravidade (tomamos \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}) e \;h é a diferença de carga (ou altura equivalente).
Na prática há perdas, contração e efeitos viscosos; por isso introduzimos o coeficiente de descarga \;C_v que corrige a velocidade/ vazão ideal. A vazão real é dada por
Q = C_v \, A_o \, \sqrt{2 g h},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • C_v é o coeficiente de descarga (adimensional),
  • A_o é a área do orifício ( \mathrm{m^2}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • h é a diferença de carga piezométrica ( \mathrm{m}).
    Nós vamos calcular A_o, calcular \sqrt{2gh} e aplicar a fórmula acima. Unidades: verificar que tudo está em metros e segundos para obter Q em \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Cálculo da área do orifício passo a passo.
A área de um círculo é \;A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Para o orifício:
A_o=\frac{\pi d_o^2}{4}.
Substituindo d_o=0,17\\ \mathrm{m}:
A_o=\frac{\pi\,(0,17)^2}{4}.
Calculemos (0,17)^2:
(0,17)^2=0,0289.
Logo
A_o=\frac{\pi\cdot 0,0289}{4}\approx 0,02270\\ \mathrm{m^2}.
(Arredondei mantendo 5 dígitos significativos na área para as etapas seguintes.)

Passo 4

Cálculo do termo \sqrt{2 g h}.
Calcule 2 g h com g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} e h=0,45\\ \mathrm{m}:
2 g h = 2\cdot 9,81\cdot 0,45 = 8,829\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Agora a raiz:
\sqrt{2 g h} = \sqrt{8,829}\approx 2,9714\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da vazão Q aplicando a fórmula.
Usando C_v=0,61, A_o\approx 0,02270\\ \mathrm{m^2} e \sqrt{2 g h}\approx 2,9714\\ \mathrm{m/s}:
Q = 0,61\cdot 0,02270\cdot 2,9714.
Primeiro A_o\cdot \sqrt{2gh}:
0,02270\cdot 2,9714 \approx 0,06745\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora multiplicando por C_v:
Q \approx 0,61\cdot 0,06745 \approx 0,04114\\ \mathrm{m^3/s}.
Conversões úteis:
Q \approx 0,04114\\ \mathrm{m^3/s}=41,14\\ \mathrm{L/s},
Q \approx 0,04114\times 3600 \approx 148,1\\ \mathrm{m^3/h}.

Resposta

Q=0,0411\\ \mathrm{m^3/s}
Q=41,1\\ \mathrm{L/s}

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