Em uma tubulação horizontal, de diâmetro 50 cm , escoa certo óleo (
), com vazão de
e pressão efetiva de
. Através de uma curva de mesmo diâmetro, presa em um bloco de ancoragem, a tubulação experimenta uma deflexão de
, ainda no plano horizontal. Desprezando as perdas de energia na curva, calcule (i) as componentes da reação e (ii) a resultante.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado dá e o que pede, passo a passo, sem resolver nada ainda.
- Dados numéricos fornecidos:
- diâmetro da tubulação:
(ou ); - vazão:
; - peso específico do óleo:
(notação: é unidade de força); - pressão efetiva (no interior da tubulação nas seções consideradas):
; - a curva faz uma deflexão de
no plano horizontal, mantendo o mesmo diâmetro.
- diâmetro da tubulação:
- O que o enunciado pede:
(i) as componentes da reação (do bloco de ancoragem) que equilibram a tubulação devido ao escoamento;
(ii) a resultante dessa reação (módulo e direção). - Observações que vamos usar (aceitas pelo enunciado):
- desprezamos perdas de energia na curva (logo, pressão na entrada e na saída da curva são iguais se o enunciado indica a mesma “pressão efetiva”);
- a tubulação é horizontal (sem variação de elevação);
- como a curva é de
, o escoamento entra, por exemplo, na direção e sai na direção .
- Nota sobre unidades: vou trabalhar consistentemente com unidades do SI para velocidades e massas (m, s, kg), calcular forças em newtons quando necessário e, por conveniência do enunciado (usa
), converter as forças finais para . Lembre-se que .
Passo 2
Calcular área da seção, velocidade média e vazão mássica — tudo isso é básico e necessário para aplicar o teorema do momento.
- Área da seção (círculo de diâmetro
):
- Velocidade média
(como ):
- Densidade de massa
: como foi dado em , numericamente equivale à densidade em porque e (essa é uma simplificação prática comum em problemas com unidades kgf). Assim
- Vazão mássica:
Passo 3
Relembrando o teorema do momento linear para regime permanente (aulas rápidas):
Para um volume de controle que envolve a curva, a soma das forças externas sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento linear do fluido que atravessa o volume de controle, isto é,
Para um volume de controle que envolve a curva, a soma das forças externas sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento linear do fluido que atravessa o volume de controle, isto é,
As forças externas horizontais consideradas são: as forças de pressão nas seções de entrada e saída e a força exercida pelas paredes/ancoragem sobre o fluido. A reação do bloco (o que o enunciado quer) é a força que o bloco precisa aplicar para equilibrar a tubulação — isto é, é igual e oposta à força que o fluido exerce na tubulação/paredes.
Vamos aplicar as componentes em
e
. Escolhemos:
- entrada do fluido com velocidade
; - saída do fluido com velocidade
.
O termo de variação de momento é então
Passo 4
Escrever as equações de equilíbrio em
e
, identificando sinais e contribuidores (vou explicar o porquê de cada termo).
- Forças de pressão nas seções (usando norma de superfície para o volume de controle): para a seção de entrada (S1) a contribuição horizontal é
(empurra o fluido na direção ); para a seção de saída (S2) a contribuição horizontal é zero (pois a pressão em S2 atua em direção ). Analogamente, na direção a contribuição da pressão é (puxando no sentido negativo de ), vindo da seção de saída. - Chamando
e as componentes da força que a parede/ancoragem exerce sobre o fluido (ou seja, força da parede sobre o fluido), as equações de momento nas componentes ficam:
Componente
:
Portanto
Componente
:
Como a pressão em S2 contribui com
em
, temos
- Importante:
são forças que a parede (tubulação) exerce sobre o fluido. A reação que a ancoragem (o bloco) deve fornecer para manter a tubulação em equilíbrio é a força que o fluido exerce sobre a parede, ou seja, o negativo desses valores:
Substituindo:
Ou seja, as componentes têm a mesma magnitude e sinais opostos:
(direção
) e
(direção
).
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente cada termo, com conversões de unidade explicadas.
- Conversão da pressão
: . - Produto
(força devido à pressão nas seções, em ):
- Termo de momento (converteremos para
também): primeiro em newtons:
Converter para
dividindo por
:
- Soma que aparece nas duas componentes:
Logo as componentes da reação são:
Passo 6
Calcular a resultante e a direção (geométrico simples: componentes iguais em magnitude).
- Módulo da resultante:
- Direção:
medido a partir do eixo (ou seja, aponta para o quadrante quarto, 45° abaixo do eixo ). Podemos também dizer que a resultante tem direção para baixo em relação ao sentido de entrada do fluido.