Em uma tubulação horizontal, de diâmetro 50 cm , escoa certo óleo ( \gamma=845 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3} ), com vazão de 400 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e pressão efetiva de 3 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Através de uma curva de mesmo diâmetro, presa em um bloco de ancoragem, a tubulação experimenta uma deflexão de 90^{\circ}, ainda no plano horizontal. Desprezando as perdas de energia na curva, calcule (i) as componentes da reação e (ii) a resultante.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado dá e o que pede, passo a passo, sem resolver nada ainda.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • diâmetro da tubulação: d=0,50\\ \mathrm{m} (ou 50\\ \mathrm{cm});
    • vazão: Q=400\\ \mathrm{L/s}=0,400\\ \mathrm{m^{3}/s};
    • peso específico do óleo: \gamma=845\\ \mathrm{kgf/m^{3}} (notação: 1\\ \mathrm{kgf} é unidade de força);
    • pressão efetiva (no interior da tubulação nas seções consideradas): p=3\\ \mathrm{kgf/cm^{2}};
    • a curva faz uma deflexão de 90^\circ no plano horizontal, mantendo o mesmo diâmetro.
  • O que o enunciado pede:
    (i) as componentes da reação (do bloco de ancoragem) que equilibram a tubulação devido ao escoamento;
    (ii) a resultante dessa reação (módulo e direção).
  • Observações que vamos usar (aceitas pelo enunciado):
    • desprezamos perdas de energia na curva (logo, pressão na entrada e na saída da curva são iguais se o enunciado indica a mesma “pressão efetiva”);
    • a tubulação é horizontal (sem variação de elevação);
    • como a curva é de 90^\circ, o escoamento entra, por exemplo, na direção +x e sai na direção +y.
  • Nota sobre unidades: vou trabalhar consistentemente com unidades do SI para velocidades e massas (m, s, kg), calcular forças em newtons quando necessário e, por conveniência do enunciado (usa \mathrm{kgf}), converter as forças finais para \mathrm{kgf}. Lembre-se que 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Calcular área da seção, velocidade média e vazão mássica — tudo isso é básico e necessário para aplicar o teorema do momento.
  • Área da seção (círculo de diâmetro d):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}50)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0625=0{,}19634954\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média V (como Q=AV):
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}400}{0{,}19634954}=2{,}0371835\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade de massa \rho: como \gamma foi dado em \mathrm{kgf/m^{3}}, numericamente \gamma equivale à densidade em \mathrm{kg/m^{3}} porque 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N} e \gamma=\rho g (essa é uma simplificação prática comum em problemas com unidades kgf). Assim
\rho=845\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho Q=845\cdot 0{,}400=338{,}0\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Relembrando o teorema do momento linear para regime permanente (aulas rápidas):
Para um volume de controle que envolve a curva, a soma das forças externas sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento linear do fluido que atravessa o volume de controle, isto é,
\sum \vec{F}_{\text{ext}}=\dot{m}(\vec{V}_{\text{out}}-\vec{V}_{\text{in}}).
As forças externas horizontais consideradas são: as forças de pressão nas seções de entrada e saída e a força exercida pelas paredes/ancoragem sobre o fluido. A reação do bloco (o que o enunciado quer) é a força que o bloco precisa aplicar para equilibrar a tubulação — isto é, é igual e oposta à força que o fluido exerce na tubulação/paredes.
Vamos aplicar as componentes em x e y. Escolhemos:
  • entrada do fluido com velocidade \vec{V}_{1}=V\hat{\imath};
  • saída do fluido com velocidade \vec{V}_{2}=V\hat{\jmath}.
O termo de variação de momento é então
\dot{m}(\vec{V}_{2}-\vec{V}_{1})=\dot{m}V(\hat{\jmath}-\hat{\imath}).

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio em x e y, identificando sinais e contribuidores (vou explicar o porquê de cada termo).
  • Forças de pressão nas seções (usando norma de superfície para o volume de controle): para a seção de entrada (S1) a contribuição horizontal é +pA (empurra o fluido na direção +x); para a seção de saída (S2) a contribuição horizontal é zero (pois a pressão em S2 atua em direção y). Analogamente, na direção y a contribuição da pressão é -pA (puxando no sentido negativo de y), vindo da seção de saída.
  • Chamando F_{w,x} e F_{w,y} as componentes da força que a parede/ancoragem exerce sobre o fluido (ou seja, força da parede sobre o fluido), as equações de momento nas componentes ficam:
Componente x:
\text{(pressão em S1)} + F_{w,x} = \dot{m}(V_{2,x}-V_{1,x}) = \dot{m}(0 - V) = -\dot{m}V.ã
Portanto
F_{w,x} = -\dot{m}V - pA.
Componente y:
\text{(pressão em S2)} + F_{w,y} = \dot{m}(V_{2,y}-V_{1,y}) = \dot{m}(V - 0)=\dot{m}V.ã
Como a pressão em S2 contribui com -pA em y, temos
-pA + F_{w,y} = \dot{m}V \quad\Rightarrow\quad F_{w,y}=\dot{m}V + pA.
  • Importante: F_{w,x},F_{w,y} são forças que a parede (tubulação) exerce sobre o fluido. A reação que a ancoragem (o bloco) deve fornecer para manter a tubulação em equilíbrio é a força que o fluido exerce sobre a parede, ou seja, o negativo desses valores:
R_x = -F_{w,x},\qquad R_y = -F_{w,y}.
Substituindo:
R_x = \dot{m}V + pA,\qquad R_y = -(\dot{m}V + pA).
Ou seja, as componentes têm a mesma magnitude e sinais opostos: R_x>0 (direção +x) e R_y<0 (direção -y).

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente cada termo, com conversões de unidade explicadas.
  • Conversão da pressão p: 3\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=3\cdot 10^{4}\\ \mathrm{kgf/m^{2}}.
  • Produto pA (força devido à pressão nas seções, em \mathrm{kgf}):
pA=3\cdot 10^{4}\cdot 0{,}19634954=5890{,}486\\ \mathrm{kgf}.
  • Termo de momento (converteremos para \mathrm{kgf} também): primeiro \dot{m}V em newtons:
\dot{m}V=338{,}0\cdot 2{,}0371835=688{,}582\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kgf} dividindo por 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{\dot{m}V}{9{,}81}= \frac{688{,}582}{9{,}81}=70{,}200\\ \mathrm{kgf}.
  • Soma que aparece nas duas componentes:
\dot{m}V+pA=70{,}200+5890{,}486=5960{,}686\\ \mathrm{kgf}.
Logo as componentes da reação são:
R_x=+5960{,}686\\ \mathrm{kgf},\qquad R_y=-5960{,}686\\ \mathrm{kgf}.

Passo 6

Calcular a resultante e a direção (geométrico simples: componentes iguais em magnitude).
  • Módulo da resultante:
R=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}=\sqrt{(5960{,}686)^{2}+( -5960{,}686)^{2}}=5960{,}686\sqrt{2}=8434{,}00\\ \mathrm{kgf}.
  • Direção: \tan\theta=R_{y}/R_{x}=-1\Rightarrow \theta=-45^\circ medido a partir do eixo +x (ou seja, aponta para o quadrante quarto, 45° abaixo do eixo +x). Podemos também dizer que a resultante tem direção 45^\circ para baixo em relação ao sentido de entrada do fluido.

Resposta

R_x=+5960{,}686\\ \mathrm{kgf},\quad R_y=-5960{,}686\\ \mathrm{kgf}
R=8434{,}00\\ \mathrm{kgf}, direção: 45^\circ abaixo do eixo +x (ou \theta=-45^\circ).

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