Um cubo tem massa de 2 kg e aresta de 0,2 \mathrm{~m}. Ele escorrega para baixo em um plano inclinado liso sobre uma película de oleo a partir do repouso. A inclinaçăo é de 30^{\circ} \mathrm{em} relação a horizontal. O óleo tem viscosidade de 0,4 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}. A película de óleo tem espessura de 0,02 \mathrm{~mm} e perfil de velocidade pode ser considerado linear. Calcule o tempo requerido quando a velocidade for 2 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para que um cubo, que escorrega para baixo num plano inclinado sobre uma película de óleo, atinja a velocidade \,2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos (retirados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{massa do cubo: } m=2\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{aresta do cubo: } a=0,2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{inclinação: } \theta=30^\circ,\\\ &\text{viscosidade do óleo: } \mu=0,4\\ \mathrm{N\,s/m^2},\\\ &\text{espessura da película: } h=0,02\\ \mathrm{mm}=2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{perfil de velocidade: linear (consequência: gradiente uniforme).} \end{aligned}
O que se pede: encontrar t tal que a velocidade do cubo valha \,v(t)=2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Passo 2
Modelagem das forças: ao longo do plano inclinado atuam (1) a componente do peso que puxa o cubo para baixo: m g\sin\theta, e (2) a força viscosa de resistência devido à película de óleo entre o cubo e o plano. Vamos calcular essa força viscosa com calma.
Teoria (aula curta): para um fluido newtoniano com perfil de velocidade linear entre duas superfícies separadas por espessura h, a taxa de variação da velocidade no normal é \dfrac{du}{dy}=\dfrac{v}{h}, onde v é a velocidade da superfície móvel (o cubo) e y é a direção normal. A tensão de cisalhamento (shear stress) é dada por
\tau=\mu\frac{du}{dy}=\mu\frac{v}{h}.
A força viscosa total sobre a face em contato é a tensão multiplicada pela área de contato A.
Passo 3
Cálculo da área de contato e expressão da força viscosa:
A=a^2 \quad\text{(aresta do cubo é \(a\), então a face é um quadrado)}
F_{\text{visc}}=\tau A=\mu\frac{v}{h}A.
Agora escrevemos a segunda lei de Newton ao longo do eixo do plano inclinado (direção positiva para baixo):