Questão 1

Um cubo tem massa de 2 kg e aresta de 0,2 \mathrm{~m}. Ele escorrega para baixo em um plano inclinado liso sobre uma película de oleo a partir do repouso. A inclinaçăo é de 30^{\circ} \mathrm{em} relação a horizontal. O óleo tem viscosidade de 0,4 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}. A película de óleo tem espessura de 0,02 \mathrm{~mm} e perfil de velocidade pode ser considerado linear. Calcule o tempo requerido quando a velocidade for 2 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que um cubo, que escorrega para baixo num plano inclinado sobre uma película de óleo, atinja a velocidade \,2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos (retirados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{massa do cubo: } m=2\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{aresta do cubo: } a=0,2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{inclinação: } \theta=30^\circ,\\\ &\text{viscosidade do óleo: } \mu=0,4\\ \mathrm{N\,s/m^2},\\\ &\text{espessura da película: } h=0,02\\ \mathrm{mm}=2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{perfil de velocidade: linear (consequência: gradiente uniforme).} \end{aligned}çãóíê
O que se pede: encontrar t tal que a velocidade do cubo valha \,v(t)=2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Modelagem das forças: ao longo do plano inclinado atuam (1) a componente do peso que puxa o cubo para baixo: m g\sin\theta, e (2) a força viscosa de resistência devido à película de óleo entre o cubo e o plano. Vamos calcular essa força viscosa com calma.
Teoria (aula curta): para um fluido newtoniano com perfil de velocidade linear entre duas superfícies separadas por espessura h, a taxa de variação da velocidade no normal é \dfrac{du}{dy}=\dfrac{v}{h}, onde v é a velocidade da superfície móvel (o cubo) e y é a direção normal. A tensão de cisalhamento (shear stress) é dada por
\tau=\mu\frac{du}{dy}=\mu\frac{v}{h}.
A força viscosa total sobre a face em contato é a tensão multiplicada pela área de contato A.

Passo 3

Cálculo da área de contato e expressão da força viscosa:
A=a^2 \quad\text{(aresta do cubo é \(a\), então a face é um quadrado)}éãé
F_{\text{visc}}=\tau A=\mu\frac{v}{h}A.
Agora escrevemos a segunda lei de Newton ao longo do eixo do plano inclinado (direção positiva para baixo):
m\frac{dv}{dt}=m g\sin\theta-F_{\text{visc}}=m g\sin\theta-\mu\frac{A}{h}v.

Passo 4

Transformamos a equação em uma equação diferencial linear de primeira ordem:
\frac{dv}{dt}+\underbrace{\left(\frac{\mu A}{m h}\right)}_{:=\frac{1}{\tau}}v=g\sin\theta.
Aqui definimos o tempo característico (constante de tempo)
\tau=\frac{m h}{\mu A}.
A solução da equação com condição inicial v(0)=0 é a clássica para sistema com forçamento constante:
v(t)=v_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right),
onde a velocidade de regime permanente v_{\infty} é obtida fazendo \dfrac{dv}{dt}=0:
v_{\infty}=\frac{m g\sin\theta}{\mu A/h}=\frac{m g\sin\theta\; h}{\mu A}.
Interpretação rápida: v_{\infty} é a velocidade em que o empuxo do peso é exatamente equilibrado pela força viscosa.

Passo 5

Agora colocamos os valores numéricos passo a passo (peguei-os do enunciado):
A=a^2=(0,2\\ \mathrm{m})^2=0,04\\ \mathrm{m^2}.
h=2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m},\qquad \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}=0,5,\qquad g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calculamos v_{\infty}:
v_{\infty}=\frac{m g\sin\theta\; h}{\mu A} =\frac{2\cdot 9,81\cdot 0,5\cdot 2\times 10^{-5}}{0,4\cdot 0,04}.
Faço a conta em etapas:
2\cdot 9,81\cdot 0,5 =9,81,
9,81\cdot 2\times 10^{-5}=1,962\times 10^{-4},
0,4\cdot 0,04=0,016,
v_{\infty}=\frac{1,962\times 10^{-4}}{0,016}=0,0122625\\ \mathrm{m/s}\approx 1,226\times 10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calculamos a constante de tempo \tau:
\tau=\frac{m h}{\mu A}=\frac{2\cdot 2\times 10^{-5}}{0,4\cdot 0,04}.
Etapas:
2\cdot 2\times 10^{-5}=4\times 10^{-5},
0,4\cdot 0,04=0,016,
\tau=\frac{4\times 10^{-5}}{0,016}=0,0025\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Queremos o instante t tal que v(t)=2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}. Usamos a solução:
v(t)=v_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Isolando t:
1-e^{-t/\tau}=\frac{v}{v_{\infty}}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=1-\frac{v}{v_{\infty}},
t=-\tau\ln\!\left(1-\frac{v}{v_{\infty}}\right).
Substituindo números:
\frac{v}{v_{\infty}}=\frac{2\times 10^{-3}}{0,0122625}\approx 0,163191,
1-\frac{v}{v_{\infty}}\approx 0,836809,
\ln(0,836809)\approx -0,178478,
t=-0,0025\cdot(-0,178478)\approx 4,46\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}.

Resposta

t\approx 4,46\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}

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