(Oscilações amortecidas) Para o oscilador amortecido, considere m=250 g, k=85 N / m e b =70 g / s. (a) Qual é o período do movimento? (b) Quanto tempo leva para a amplitude das oscilações amortecidas cair até a metade do seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico amortecido, com massa m, constante elástica k e coeficiente de amortecimento b. Precisamos (a) encontrar o período das oscilações amortecidas e (b) determinar o tempo para a amplitude cair à metade do valor inicial. Para isso usaremos as fórmulas da frequência amortecida e do decaimento exponencial da amplitude.

Passo 2

Primeiro convertemos as unidades para o SI e calculamos a frequência natural e a taxa de amortecimento:
m = 250 g = 0,25 kg, k = 85 N/m, b = 70 g/s = 0,07 kg/s
A frequência angular não amortecida é
omega0 = raizkm = raiz850,25 = raiz340 approx 18,44 s^-1
A constante de amortecimento é
gamma = b2m = 0,072times0,25 =0,14 s^-1

Passo 3

Como o sistema está subamortecido ( gamma<omega0), a frequência angular amortecida é
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz(18,44)^2 - (0,14)^2 approx 18,44 s^-1
O período das oscilações amortecidas é
T = 2piomegad approx 2pi18,44 approx 0,34 s

Passo 4

A amplitude decai segundo
A(t) = A0,e^-gamma t
Para A(t)=tfrac12A0 temos
12 = e^-gamma t Longrightarrow t = ln 2gamma = ln 20,14 approx 4,95 s

Resposta

(a) Tapprox0,34 s
(b) t1/2approx4,95 s

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