As oscilações de uma haste fina podem ser usadas para determinar o valor da aceleração da gravidade. Uma haste com 0,800 \mathrm{~m} de comprimento e suspensa por uma extremidade é observada completar 100 oscilações em 147 s . Qual é o valor de g no local deste experimento?

Passo 1

O que o problema pede: determinar o valor da aceleração da gravidade g no local do experimento.
Informações fornecidas:
\text{comprimento da haste } L = 0,800\\ \mathrm{m}
\text{numero de oscilações } N = 100çõ
\text{tempo total para essas oscilações } t = 147\\ \mathrm{s}çõ
Observação imediata: a haste é uma haste fina, uniforme, suspensa por uma extremidade, portanto vamos tratá‑la como um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em torno de um eixo fixo).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Um pêndulo físico (um corpo rígido oscilando com pequeno ângulo em torno de um eixo fixo) tem período dado por
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g d}},
onde:
  • T é o período das pequenas oscilações (tempo de uma oscilação),
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação,
  • m é a massa do corpo,
  • g é a aceleração da gravidade que queremos achar,
  • d é a distância do eixo de rotação ao centro de massa do corpo.
Explicando cada termo de forma simples:
  • O momento de inércia I mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; quanto mais massa longe do eixo, maior I.
  • A quantidade m g d representa, em essência, a “força restauradora” (torque gravitacional) que faz o corpo oscilar.
  • A fórmula diz que o período aumenta se o corpo for mais difícil de girar ( I grande) e diminui se a gravidade for maior ( g grande) ou se o centro de massa estiver mais perto do eixo ( d pequeno).

Passo 3

Aplicando essa fórmula à haste fina e uniforme:
  • Para uma haste uniforme de comprimento L presa numa extremidade, o momento de inércia em relação à extremidade é
I = \dfrac{1}{3} m L^{2}.
Isso vem da fórmula padrão para uma barra fina em torno de uma extremidade (pode decorar ou derivar em casa usando integração, mas aqui usamos o resultado conhecido).
  • A distância do eixo ao centro de massa é
d = \dfrac{L}{2}.
Substituindo I e d na fórmula do período:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}mL^{2}}{m g \tfrac{L}{2}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}L^{2}}{g \tfrac{L}{2}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{L}{g}}.
Portanto a expressão simplificada é
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}.

Passo 4

Isolando g da expressão do período:
T^{2} = 4\pi^{2}\cdot\dfrac{2L}{3g} = \dfrac{8\pi^{2}L}{3g}
\Rightarrow g = \dfrac{8\pi^{2}L}{3T^{2}}.
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular g a partir de L e do período T.

Passo 5

Calcular o período experimental T a partir dos dados:
T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{147}{100} = 1,47\\ \mathrm{s}.
Agora substituímos na fórmula de g:
Primeiro calculamos o numerador e o denominador separadamente (aproximações decimais para facilitar a conta manual):
8\pi^{2}L = 8\pi^{2}\cdot 0,800.
Sabendo que \pi^{2}\approx 9,8696, temos
8\pi^{2}L \approx 8\cdot 9,8696 \cdot 0,800 \approx 63,1654.
O denominador é
3T^{2} = 3\cdot (1,47)^{2} = 3\cdot 2,1609 = 6,4827.

Passo 6

Dividindo numerador pelo denominador para obter g:
g \approx \dfrac{63,1654}{6,4827} \approx 9,744\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de acordo com as cifras significativas dos dados (comprimento 0,800 tem três algarismos significativos, período 1,47 também), reportamos g com três dígitos:
g \approx 9,74\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Estou torcendo por você — mandou bem pedindo pra resolver passo a passo! Se quiser, a gente repete as contas com mais casas ou discute fontes de erro (atrito, amplitude não pequena, suspensão não perfeita) que podem causar pequenas diferenças.

Resposta

g \approx 9,74\\ \mathrm{m/s^{2}}

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