As oscilações de uma haste fina podem ser usadas para determinar o valor da aceleração da gravidade. Uma haste com 0,800 \mathrm{~m} de comprimento e suspensa por uma extremidade é observada completar 100 oscilações em 147 s . Qual é o valor de g no local deste experimento?
Passo 1
O que o problema pede: determinar o valor da aceleração da gravidade g no local do experimento.
Informações fornecidas:
\text{comprimento da haste } L = 0,800\\ \mathrm{m}
\text{numero de oscilações } N = 100
\text{tempo total para essas oscilações } t = 147\\ \mathrm{s}
Observação imediata: a haste é uma haste fina, uniforme, suspensa por uma extremidade, portanto vamos tratá‑la como um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em torno de um eixo fixo).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Um pêndulo físico (um corpo rígido oscilando com pequeno ângulo em torno de um eixo fixo) tem período dado por
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g d}},
onde:
T é o período das pequenas oscilações (tempo de uma oscilação),
I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação,
m é a massa do corpo,
g é a aceleração da gravidade que queremos achar,
d é a distância do eixo de rotação ao centro de massa do corpo.
Explicando cada termo de forma simples:
O momento de inércia I mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; quanto mais massa longe do eixo, maior I.
A quantidade m g d representa, em essência, a “força restauradora” (torque gravitacional) que faz o corpo oscilar.
A fórmula diz que o período aumenta se o corpo for mais difícil de girar (I grande) e diminui se a gravidade for maior (g grande) ou se o centro de massa estiver mais perto do eixo (d pequeno).
Passo 3
Aplicando essa fórmula à haste fina e uniforme:
Para uma haste uniforme de comprimento L presa numa extremidade, o momento de inércia em relação à extremidade é
I = \dfrac{1}{3} m L^{2}.
Isso vem da fórmula padrão para uma barra fina em torno de uma extremidade (pode decorar ou derivar em casa usando integração, mas aqui usamos o resultado conhecido).
A distância do eixo ao centro de massa é
d = \dfrac{L}{2}.
Substituindo I e d na fórmula do período:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}mL^{2}}{m g \tfrac{L}{2}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}L^{2}}{g \tfrac{L}{2}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{L}{g}}.
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular g a partir de L e do período T.
Passo 5
Calcular o período experimental T a partir dos dados:
T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{147}{100} = 1,47\\ \mathrm{s}.
Agora substituímos na fórmula de g:
Primeiro calculamos o numerador e o denominador separadamente (aproximações decimais para facilitar a conta manual):
Dividindo numerador pelo denominador para obter g:
g \approx \dfrac{63,1654}{6,4827} \approx 9,744\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de acordo com as cifras significativas dos dados (comprimento 0,800 tem três algarismos significativos, período 1,47 também), reportamos g com três dígitos:
g \approx 9,74\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Estou torcendo por você — mandou bem pedindo pra resolver passo a passo! Se quiser, a gente repete as contas com mais casas ou discute fontes de erro (atrito, amplitude não pequena, suspensão não perfeita) que podem causar pequenas diferenças.