Qual das seguintes relações entre a aceleração a de uma partícula e sua posição x indica um movimento harmônico simples: (a) a =3 x^{2}, (b) a=5 x, (c) a=-4 x, (d) a=-2 / x^{2} ? Qual é a frequência angular correspondente? (Suponha que o valor obtido esteja em rad/s.)

Passo 1

O enunciado apresenta quatro relações entre a aceleração a de uma partícula e sua posição x e pede duas coisas: identificar qual (apenas uma) dessas relações indica movimento harmônico simples (MHS) e calcular a frequência angular correspondente (em rad/s). As relações dadas são:
\text{(a)}\; a=3x^{2},\qquad \text{(b)}\; a=5x,\qquad \text{\text{(c)}}\; a=-4x,\qquad \text{(d)}\; a=-\dfrac{2}{x^{2}}.
Vou testar cada uma delas para ver qual satisfaz a condição de MHS e, quando for o caso, achar a frequência angular.

Passo 2

O que significa matematicamente “movimento harmônico simples” (MHS)?\n
  • Um MHS é descrito pela equação diferencial de segunda ordem
\ddot{x} = -\omega^{2} x,
onde \ddot{x} é a aceleração a (segunda derivada temporal da posição), x é o deslocamento e \omega é a frequência angular (em rad/s).\n
  • Em palavras: a aceleração deve ser diretamente proporcional ao deslocamento x e, crucialmente, apontar no sentido oposto ao deslocamento (ou seja, ter um sinal negativo). Essa proporcionalidade tem a forma
a = -\omega^{2} x.
Aqui \omega^{2}>0. Se tivermos exatamente essa forma, a solução é oscilatória: x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Se o sinal for positivo (ex.: a=+const \cdot x), a solução não é oscilatória (é exponencial/instável). Se a dependência for não linear em x (ex.: x^{2}, 1/x^{2}), também não é MHS.

Passo 3

Análise da alternativa (a): a=3x^{2}.\n
  • Aqui a aceleração depende de x^{2}, ou seja, não é proporcional a x (é proporcional ao quadrado de x). Portanto não tem a forma linear exigida a=-\omega^{2}x.\n
  • Conclusão: (a) não representa MHS.

Passo 4

Análise da alternativa (b): a=5x.\n
  • Essa relação é linear em x, mas tem sinal positivo. Comparando com a condição de MHS a=-\omega^{2}x, veríamos -\omega^{2}=5, o que implicaria \omega^{2}=-5, ou seja \omega imaginária. Fisicamente isso significa que a aceleração aponta no mesmo sentido do deslocamento (não é uma força restauradora) e o movimento não é oscilatório; as soluções da equação \ddot{x}=5x são exponenciais (crescimento/decrescimento), não senos/cossenos.\n
  • Conclusão: (b) não representa MHS.

Passo 5

Análise da alternativa (c): a=-4x.\n
  • Esta relação tem exatamente a forma exigida para MHS: a=-\omega^{2}x. Comparando,
-\omega^{2} = -4 \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=4.
  • Como \omega é a frequência angular positiva, temos
\omega = \sqrt{4}=2\\ \text{rad/s}.
  • Para reforçar o raciocínio, escrevendo a equação diferencial:
\ddot{x} + 4x = 0.
A equação característica é r^{2}+4=0 com raízes r=\pm 2i, levando à solução oscilatória
x(t)=A\cos(2t+\varphi),
o que confirma MHS com \omega=2\\ \text{rad/s}.\n
  • Conclusão: (c) representa MHS e \omega=2\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Análise da alternativa (d): a=-\dfrac{2}{x^{2}}.\n
  • Aqui a aceleração depende de x^{-2}, ou seja, é uma função não linear e singular em x=0. Não é da forma proporcional a x. Não satisfaz a=-\omega^{2}x.\n
  • Conclusão: (d) não representa MHS.

Resposta

(c) a=-4x, \omega=2\\ \text{rad/s}

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