Qual das seguintes relações entre a aceleração
de uma partícula e sua posição
indica um movimento harmônico simples: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
? Qual é a frequência angular correspondente? (Suponha que o valor obtido esteja em rad/s.)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro relações entre a aceleração
de uma partícula e sua posição
e pede duas coisas: identificar qual (apenas uma) dessas relações indica movimento harmônico simples (MHS) e calcular a frequência angular correspondente (em rad/s). As relações dadas são:
Vou testar cada uma delas para ver qual satisfaz a condição de MHS e, quando for o caso, achar a frequência angular.
Passo 2
O que significa matematicamente “movimento harmônico simples” (MHS)?\n
- Um MHS é descrito pela equação diferencial de segunda ordem
onde
é a aceleração
(segunda derivada temporal da posição),
é o deslocamento e
é a frequência angular (em rad/s).\n
- Em palavras: a aceleração deve ser diretamente proporcional ao deslocamento
e, crucialmente, apontar no sentido oposto ao deslocamento (ou seja, ter um sinal negativo). Essa proporcionalidade tem a forma
Aqui
. Se tivermos exatamente essa forma, a solução é oscilatória:
. Se o sinal for positivo (ex.:
const
), a solução não é oscilatória (é exponencial/instável). Se a dependência for não linear em
(ex.:
,
), também não é MHS.
Passo 3
Análise da alternativa (a):
.\n
- Aqui a aceleração depende de
, ou seja, não é proporcional a (é proporcional ao quadrado de ). Portanto não tem a forma linear exigida .\n - Conclusão: (a) não representa MHS.
Passo 4
Análise da alternativa (b):
.\n
- Essa relação é linear em
, mas tem sinal positivo. Comparando com a condição de MHS , veríamos , o que implicaria , ou seja imaginária. Fisicamente isso significa que a aceleração aponta no mesmo sentido do deslocamento (não é uma força restauradora) e o movimento não é oscilatório; as soluções da equação são exponenciais (crescimento/decrescimento), não senos/cossenos.\n - Conclusão: (b) não representa MHS.
Passo 5
Análise da alternativa (c):
.\n
- Esta relação tem exatamente a forma exigida para MHS:
. Comparando,
- Como
é a frequência angular positiva, temos
- Para reforçar o raciocínio, escrevendo a equação diferencial:
A equação característica é
com raízes
, levando à solução oscilatória
o que confirma MHS com
.\n
- Conclusão: (c) representa MHS e
.
Passo 6
Análise da alternativa (d):
.\n
- Aqui a aceleração depende de
, ou seja, é uma função não linear e singular em . Não é da forma proporcional a . Não satisfaz .\n - Conclusão: (d) não representa MHS.
Resposta
(c)
,