OSCILADOR AMORTECIDO. Dada a seguinte equação diferencial linear de
ordem:
(a) Qual caso de amortecimento (subcrítico, crítico ou supercrítico) correspondente a essa equação? Por quê?
(b) Dadas as seguintes condições iniciais:
Encontre
.
(b) Dadas as seguintes condições iniciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com as condições iniciais
O que se pede:
(a) Identificar qual caso de amortecimento corresponde a essa equação (subcrítico, crítico ou supercrítico).
(b) Encontrar que satisfaz a EDO e as condições iniciais.
(a) Identificar qual caso de amortecimento corresponde a essa equação (subcrítico, crítico ou supercrítico).
(b) Encontrar
Passo 2
Método padrão: procurar soluções da forma
. Substituindo na EDO e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Explicação curta do porquê: para EDOs lineares com coeficientes constantes, exponenciais
transformam derivadas em multiplicações por
, por isso levam a um polinômio em
cuja raiz dá as exponenciais que compõem a solução.
Passo 3
Calcular as raízes da equação característica. Primeiro o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
Classificação do amortecimento: quando a equação característica tem duas raízes complexas conjuntas com parte real negativa (isto é,
) temos amortecimento subcrítico (subamortecido, oscilações amortecidas); quando
há duas raízes reais distintas e o sistema é supercrítico (sobreamortecido, decai sem oscilar); quando
há raiz dupla e o sistema é criticamente amortecido. Portanto, para esta equação o caso é crítico (amortecimento crítico), porque o discriminante é zero e as raízes são iguais.
Passo 4
Solução geral para raiz dupla: se a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Intuição:
é uma solução; para obter a segunda solução independente no caso de multiplicidade 2 multiplica-se por
, resultando em
.)
Passo 5
Aplicando aqui
, a solução geral é
Usar as condições iniciais para achar
e
.
Passo 6
Primeira condição:
. Avaliando em
:
Passo 7
Segunda condição: calcular
. Derivando
Verificação rápida da derivação: produto (derivada de
é
) e derivada de
é
.
Agora avaliar em
e usar
:
Como
obtém-se
Unidade de
é
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos também escrever fatorando
:
Observação final (rápida): essa solução não oscila e tende a zero quando
, característica do amortecimento crítico.
Resposta
(a) Amortecimento crítico.
(b)
(b)