OSCILADOR AMORTECIDO. Dada a seguinte equação diferencial linear de 2^{\text {a }} ordem:
\ddot{x}+4 \dot{x}+4 x=0, \text { onde } \dot{x}=\frac{d x}{d t} \mathrm{e} \ddot{x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}
(a) Qual caso de amortecimento (subcrítico, crítico ou supercrítico) correspondente a essa equação? Por quê?
(b) Dadas as seguintes condições iniciais:
x(0)=5 \mathrm{~cm} \text { e } \dot{x}(0)=0
Encontre x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\ddot{x}+4\dot{x}+4x=0,
com as condições iniciais
x(0)=5\\ \text{cm},\qquad \dot{x}(0)=0.
O que se pede:
(a) Identificar qual caso de amortecimento corresponde a essa equação (subcrítico, crítico ou supercrítico).
(b) Encontrar x(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais.

Passo 2

Método padrão: procurar soluções da forma \,x(t)=e^{rt}\,. Substituindo na EDO e dividindo por e^{rt} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2}+4r+4=0.
Explicação curta do porquê: para EDOs lineares com coeficientes constantes, exponenciais e^{rt} transformam derivadas em multiplicações por r, por isso levam a um polinômio em r cuja raiz dá as exponenciais que compõem a solução.

Passo 3

Calcular as raízes da equação característica. Primeiro o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot4 =16-16=0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-4}{2}=-2.
Classificação do amortecimento: quando a equação característica tem duas raízes complexas conjuntas com parte real negativa (isto é, \Delta<0) temos amortecimento subcrítico (subamortecido, oscilações amortecidas); quando \Delta>0 há duas raízes reais distintas e o sistema é supercrítico (sobreamortecido, decai sem oscilar); quando \Delta=0 há raiz dupla e o sistema é criticamente amortecido. Portanto, para esta equação o caso é crítico (amortecimento crítico), porque o discriminante é zero e as raízes são iguais.

Passo 4

Solução geral para raiz dupla: se a equação característica tem raiz dupla r, a solução geral é
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Intuição: e^{rt} é uma solução; para obter a segunda solução independente no caso de multiplicidade 2 multiplica-se por t, resultando em t e^{rt}.)

Passo 5

Aplicando aqui r=-2, a solução geral é
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-2t}.
Usar as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.

Passo 6

Primeira condição: x(0)=5\\ \text{cm}. Avaliando em t=0:
x(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot0)e^{0}=C_{1}=5\\ \text{cm}.

Passo 7

Segunda condição: calcular \dot{x}(t). Derivando
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big[(C_{1}+C_{2}t)e^{-2t}\big] = \big[C_{2}-2(C_{1}+C_{2}t)\big]e^{-2t}.
Verificação rápida da derivação: produto (derivada de C_{1}+C_{2}t é C_{2}) e derivada de e^{-2t} é -2e^{-2t}.
Agora avaliar em t=0 e usar \dot{x}(0)=0:
\dot{x}(0)=(C_{2}-2C_{1})e^{0}=C_{2}-2C_{1}=0.
Como C_{1}=5 obtém-se
C_{2}=2C_{1}=10.
Unidade de C_{2} é \text{cm}/\text{s}.

Passo 8

Substituindo C_{1}=5 e C_{2}=10 na solução geral:
x(t)=(5+10t)e^{-2t}.
Podemos também escrever fatorando 5:
x(t)=5(1+2t)e^{-2t}\\ \text{cm}.
Observação final (rápida): essa solução não oscila e tende a zero quando t\to\infty, característica do amortecimento crítico.

Resposta

(a) Amortecimento crítico.
(b) \displaystyle x(t)=5(1+2t)e^{-2t}\\ \text{cm}

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