Num dia em que a velocidade do som é igual a
, a frequência fundamental de um tubo de órgão fechado é igual a 220 Hz . a) Qual é o comprimento desse tubo fechado? b) O terceiro harmônico de um tubo aberto tem a mesma frequência da terceira frequência, a partir da frequência fundamental, produzida pelo tubo fechado da letra a). Qual é o comprimento do tubo aberto? ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- Velocidade do som:
. - Frequência fundamental do tubo fechado:
.
- Velocidade do som:
- Perguntas:
- (a) Qual o comprimento do tubo fechado (que tem a frequência fundamental dada)?
- (b) Um tubo aberto tem o seu terceiro harmônico igual à terceira frequência, a partir da fundamental, produzida pelo tubo fechado do item (a). Qual é o comprimento do tubo aberto?
Passo 2
Entender o que significa “tubo fechado” e como aparecem as frequências (aula rápida e intuitiva).
- Num tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra, a extremidade fechada impõe um nó de deslocamento (deslocamento zero) e a extremidade aberta impõe um antinó (deslocamento máximo). Isso faz com que as ondas estacionárias permitam apenas comprimentos de onda em que haja um quarto de comprimento de onda (
) entre um nó e o antinó adjacente para o modo fundamental. - A consequência prática é que as frequências permitidas (modos) do tubo fechado são apenas os harmônicos ímpares. Podemos escrever os modos com um índice
tal que o -ésimo modo corresponde ao termo . A fórmula geral para as frequências do tubo fechado é:
onde:
-
é a -ésima frequência permitida (o -ésimo modo), -
é a velocidade do som, -
é o comprimento do tubo (o que queremos achar).
Passo 3
Aplicar a fórmula ao modo fundamental do tubo fechado (que é
).
- Para
temos , logo a frequência fundamental satisfaz:
- Isolando
:
- Substituindo os valores dados:
Passo 4
Comentário sobre arredondamento e unidade.
- O resultado
tem unidade de metros. Usei aproximação decimal com três casas significativas, suficiente para problemas de acústica elementar.
Passo 5
Entender a frase do item (b) e escrever as fórmulas relevantes para o tubo aberto.
- Num tubo aberto em ambas as extremidades, ambas as extremidades são antinós de deslocamento. As frequências permitidas são todos os harmônicos inteiros, dada por:
onde:
-
é o -ésimo harmônico do tubo aberto, -
é o comprimento do tubo aberto. - O enunciado do (b) diz: “O terceiro harmônico de um tubo aberto tem a mesma frequência da terceira frequência, a partir da frequência fundamental, produzida pelo tubo fechado da letra a).” Interpretação (explicada): para o tubo fechado as frequências permitidas, em ordem crescente, são para
: (fundamental), (segunda frequência), (terceira frequência). Assim a “terceira frequência a partir da fundamental” do tubo fechado corresponde ao termo com , ou seja . - O “terceiro harmônico de um tubo aberto” é simplesmente
: .
Passo 6
Igualar as duas frequências pedidas e resolver para
.
- Igualando:
- Podemos cancelar
em ambos os lados (a igualdade independe da velocidade do som numericamente já conhecida):
- Isolando
:
Passo 7
Calcular numericamente
usando
obtido no Passo 3.
- Substituindo
: