Num dia em que a velocidade do som é igual a 345 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a frequência fundamental de um tubo de órgão fechado é igual a 220 Hz . a) Qual é o comprimento desse tubo fechado? b) O terceiro harmônico de um tubo aberto tem a mesma frequência da terceira frequência, a partir da frequência fundamental, produzida pelo tubo fechado da letra a). Qual é o comprimento do tubo aberto? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do som: \,v=345\\ \text{m/s}.
    • Frequência fundamental do tubo fechado: \,f_{1,\text{fechado}}=220\\ \text{Hz}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual o comprimento do tubo fechado (que tem a frequência fundamental dada)?
    • (b) Um tubo aberto tem o seu terceiro harmônico igual à terceira frequência, a partir da fundamental, produzida pelo tubo fechado do item (a). Qual é o comprimento do tubo aberto?

Passo 2

Entender o que significa “tubo fechado” e como aparecem as frequências (aula rápida e intuitiva).
  • Num tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra, a extremidade fechada impõe um nó de deslocamento (deslocamento zero) e a extremidade aberta impõe um antinó (deslocamento máximo). Isso faz com que as ondas estacionárias permitam apenas comprimentos de onda em que haja um quarto de comprimento de onda ( \lambda/4) entre um nó e o antinó adjacente para o modo fundamental.
  • A consequência prática é que as frequências permitidas (modos) do tubo fechado são apenas os harmônicos ímpares. Podemos escrever os modos com um índice k=1,2,3,\dots tal que o k-ésimo modo corresponde ao termo (2k-1). A fórmula geral para as frequências do tubo fechado é:
f_{k,\text{fechado}}=\frac{(2k-1)\,v}{4L_{\text{fechado}}},\quad k=1,2,3,\dots
onde:
  • f_{k,\text{fechado}} é a k-ésima frequência permitida (o k-ésimo modo),
  • v é a velocidade do som,
  • L_{\text{fechado}} é o comprimento do tubo (o que queremos achar).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao modo fundamental do tubo fechado (que é k=1).
  • Para k=1 temos (2k-1)=1, logo a frequência fundamental satisfaz:
f_{1,\text{fechado}}=\frac{v}{4L_{\text{fechado}}}.
  • Isolando L_{\text{fechado}}:
L_{\text{fechado}}=\frac{v}{4f_{1,\text{fechado}}}.
  • Substituindo os valores dados:
L_{\text{fechado}}=\frac{345}{4\cdot 220}=\frac{345}{880}=\frac{69}{176}\approx 0,392\\ \text{m}.

Passo 4

Comentário sobre arredondamento e unidade.
  • O resultado L_{\text{fechado}}\approx0,392\\ \text{m} tem unidade de metros. Usei aproximação decimal com três casas significativas, suficiente para problemas de acústica elementar.

Passo 5

Entender a frase do item (b) e escrever as fórmulas relevantes para o tubo aberto.
  • Num tubo aberto em ambas as extremidades, ambas as extremidades são antinós de deslocamento. As frequências permitidas são todos os harmônicos inteiros, dada por:
f_{n,\text{aberto}}=\frac{n\,v}{2L_{\text{aberto}}},\quad n=1,2,3,\dots
onde:
  • f_{n,\text{aberto}} é o n-ésimo harmônico do tubo aberto,
  • L_{\text{aberto}} é o comprimento do tubo aberto.
  • O enunciado do (b) diz: “O terceiro harmônico de um tubo aberto tem a mesma frequência da terceira frequência, a partir da frequência fundamental, produzida pelo tubo fechado da letra a).” Interpretação (explicada): para o tubo fechado as frequências permitidas, em ordem crescente, são para k=1,2,3: (2\cdot1-1)=1 (fundamental), 3 (segunda frequência), 5 (terceira frequência). Assim a “terceira frequência a partir da fundamental” do tubo fechado corresponde ao termo com (2k-1)=5, ou seja f_{3,\text{fechado}} = f_{\text{correspondente}} = \dfrac{5v}{4L_{\text{fechado}}}.
  • O “terceiro harmônico de um tubo aberto” é simplesmente n=3: f_{3,\text{aberto}}=\dfrac{3v}{2L_{\text{aberto}}}.

Passo 6

Igualar as duas frequências pedidas e resolver para L_{\text{aberto}}.
  • Igualando:
f_{3,\text{aberto}}= \text{terceira frequência do fechado} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3v}{2L_{\text{aberto}}}=\frac{5v}{4L_{\text{fechado}}}.ê
  • Podemos cancelar v em ambos os lados (a igualdade independe da velocidade do som numericamente já conhecida):
\frac{3}{2L_{\text{aberto}}}=\frac{5}{4L_{\text{fechado}}}.
  • Isolando L_{\text{aberto}}:
3\cdot 4L_{\text{fechado}}=5\cdot 2L_{\text{aberto}}
12L_{\text{fechado}}=10L_{\text{aberto}}
L_{\text{aberto}}=\frac{12}{10}L_{\text{fechado}}=\frac{6}{5}L_{\text{fechado}}=1,2\,L_{\text{fechado}}.

Passo 7

Calcular numericamente L_{\text{aberto}} usando L_{\text{fechado}} obtido no Passo 3.
  • Substituindo L_{\text{fechado}}\approx 0,392\\ \text{m}:
L_{\text{aberto}}=1,2\cdot 0,392=0,4704\\ \text{m}\approx 0,470\\ \text{m}.

Resposta

L_{\text{fechado}} \approx 0,392\\ \text{m}
L_{\text{aberto}} \approx 0,470\\ \text{m}

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