Um oscilador sem amortecimento tem período
. Quando sofre um amortecimento fraco, a amplitude de suas oscilações decresce para a metade em um período
. Exprima
em função de
, a frequência angular do oscilador sem amortecimento, e determine
.
Passo 1
Dados e pedido (vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede):
- Foi dado o período do oscilador sem amortecimento:
. - O oscilador sofre amortecimento fraco e, em um período do oscilador amortecido (denotado
), a amplitude cai à metade: se a amplitude inicial é , então . - O enunciado pede:
- Expressar
em função de , onde é a frequência angular do oscilador sem amortecimento. - Determinar
(o período do oscilador amortecido).
- Expressar
Passo 2
Modelo matemático e significado das quantidades (explicando devagar):
- A equação do movimento do oscilador linear com amortecimento viscosa pode ser escrita como
Aqui:
-
é a frequência angular do oscilador sem amortecimento (dado); -
é a constante de amortecimento (o que queremos expressar); - os pontos significam derivadas em relação ao tempo, por exemplo
. - No caso de amortecimento fraco (subamortecido), isto é
, a solução é oscilatória com uma exponencial amortecendo a amplitude:
onde
é a frequência angular das oscilações amortecidas e
é uma fase inicial. Da forma da solução, a envoltória da amplitude é
- A relação entre
e é
- O período das oscilações amortecidas é
- Também vale, para o oscilador não amortecido,
. Como foi dado, isso liga ao valor numérico se precisarmos.
Passo 3
Impor a condição "amplitude cai à metade em um período
" e traduzir isso em equação:
- A condição é
. - Usando
, obtemos
- Cancelando
(assumindo ):
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Assim obtemos uma relação simples entre
e :
- Isolar
:
Passo 4
Relacionar
com
e unir as equações para eliminar
:
- Lembrando
. - Igualando com a expressão obtida no passo anterior:
Passo 5
Resolver a equação acima para
(faça as contas passo a passo):
- Começo isolando termos e quadrando para eliminar a raiz. Primeiro escrevo
- Multiplicando em cruz:
- Expandindo o lado esquerdo:
- Reunindo os termos com
no mesmo lado:
- Finalmente isolando
e depois :
- Esta é a expressão pedida:
em função de .
Passo 6
Expressar
em função de
(usar
com a expressão de
):
- Substituindo
em dá
- Esta é a forma simbólica de
em função de .
Passo 7
Calcular valores numéricos usando
(para obter
numérico):
- Primeiro um número útil:
e . - Avaliando a expressão de
:
- Avaliando
pela fórmula com :
- Observação interpretativa rápida: o período amortecido
é apenas ligeiramente maior que , pois o amortecimento é fraco e só reduz um pouco a frequência.