Um oscilador sem amortecimento tem período \tau_{0}=1 \mathrm{~s}. Quando sofre um amortecimento fraco, a amplitude de suas oscilações decresce para a metade em um período \tau_{1}. Exprima \beta em função de \omega_{0}, a frequência angular do oscilador sem amortecimento, e determine \tau_{1}.

Passo 1

Dados e pedido (vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede):
  • Foi dado o período do oscilador sem amortecimento: \tau_{0}=1\\ \mathrm{s}.
  • O oscilador sofre amortecimento fraco e, em um período do oscilador amortecido (denotado \tau_{1}), a amplitude cai à metade: se a amplitude inicial é A_{0}, então A(\tau_{1})=A_{0}/2.
  • O enunciado pede:
    1. Expressar \beta em função de \omega_{0}, onde \omega_{0} é a frequência angular do oscilador sem amortecimento.
    2. Determinar \tau_{1} (o período do oscilador amortecido).

Passo 2

Modelo matemático e significado das quantidades (explicando devagar):
  • A equação do movimento do oscilador linear com amortecimento viscosa pode ser escrita como
\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0.
Aqui:
  • \omega_{0} é a frequência angular do oscilador sem amortecimento (dado);
  • \beta é a constante de amortecimento (o que queremos expressar);
  • os pontos significam derivadas em relação ao tempo, por exemplo \dot{x}=dx/dt.
  • No caso de amortecimento fraco (subamortecido), isto é \beta<\omega_{0}, a solução é oscilatória com uma exponencial amortecendo a amplitude:
x(t) = A_{0}\,e^{-\beta t}\cos(\omega_{1} t + \varphi),
onde \omega_{1} é a frequência angular das oscilações amortecidas e \varphi é uma fase inicial. Da forma da solução, a envoltória da amplitude é
A(t)=A_{0}\,e^{-\beta t}.
  • A relação entre \omega_{1} e \omega_{0} é
\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}.
  • O período das oscilações amortecidas é
\tau_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{1}}.
  • Também vale, para o oscilador não amortecido, \tau_{0}=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}. Como \tau_{0} foi dado, isso liga \omega_{0} ao valor numérico se precisarmos.

Passo 3

Impor a condição "amplitude cai à metade em um período \tau_{1}" e traduzir isso em equação:
  • A condição é A(\tau_{1}) = A_{0}/2.
  • Usando A(t)=A_{0}\,e^{-\beta t}, obtemos
A_{0}\,e^{-\beta \tau_{1}} = \frac{A_{0}}{2}.
  • Cancelando A_{0} (assumindo A_{0}\neq 0):
e^{-\beta \tau_{1}} = \frac{1}{2}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\beta \tau_{1} = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2.
  • Assim obtemos uma relação simples entre \beta e \tau_{1}:
\beta\,\tau_{1} = \ln 2.
  • Isolar \tau_{1}:
\tau_{1} = \frac{\ln 2}{\beta}.

Passo 4

Relacionar \tau_{1} com \omega_{1} e unir as equações para eliminar \tau_{1}:
  • Lembrando \tau_{1} = \dfrac{2\pi}{\omega_{1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}.
  • Igualando com a expressão obtida no passo anterior:
\frac{\ln 2}{\beta} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}.

Passo 5

Resolver a equação acima para \beta (faça as contas passo a passo):
  • Começo isolando termos e quadrando para eliminar a raiz. Primeiro escrevo
\frac{(\ln 2)^{2}}{\beta^{2}} = \frac{(2\pi)^{2}}{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}.
  • Multiplicando em cruz:
(\ln 2)^{2}(\omega_{0}^{2}-\beta^{2}) = (2\pi)^{2}\beta^{2}.
  • Expandindo o lado esquerdo:
(\ln 2)^{2}\omega_{0}^{2} - (\ln 2)^{2}\beta^{2} = (2\pi)^{2}\beta^{2}.
  • Reunindo os termos com \beta^{2} no mesmo lado:
(\ln 2)^{2}\omega_{0}^{2} = \beta^{2}\bigl((\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}\bigr).
  • Finalmente isolando \beta^{2} e depois \beta:
\beta^{2} = \frac{(\ln 2)^{2}\,\omega_{0}^{2}}{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}},
\beta = \frac{\omega_{0}\,\ln 2}{\sqrt{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}}}.
  • Esta é a expressão pedida: \beta em função de \omega_{0}.

Passo 6

Expressar \tau_{1} em função de \omega_{0} (usar \tau_{1}=\ln 2/\beta com a expressão de \beta):
  • Substituindo \beta em \tau_{1}=\dfrac{\ln 2}{\beta}
\tau_{1} = \frac{\ln 2}{\dfrac{\omega_{0}\,\ln 2}{\sqrt{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}}}} = \frac{\sqrt{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}}}{\omega_{0}}.
  • Esta é a forma simbólica de \tau_{1} em função de \omega_{0}.

Passo 7

Calcular valores numéricos usando \tau_{0}=1\\ \mathrm{s}\Rightarrow \omega_{0}=\dfrac{2\pi}{\tau_{0}}=2\pi\\ \mathrm{rad/s} (para obter \tau_{1} numérico):
  • Primeiro um número útil: \ln 2 \approx 0,693147 e 2\pi \approx 6,283185.
  • Avaliando a expressão de \beta:
\beta \approx \frac{(2\pi)\times 0,693147}{\sqrt{(0,693147)^{2} + (6,283185)^{2}}} \approx 0,689\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Avaliando \tau_{1} pela fórmula \tau_{1}=\dfrac{\sqrt{(\ln 2)^{2}+(2\pi)^{2}}}{\omega_{0}} com \omega_{0}=2\pi:
\tau_{1} \approx \frac{\sqrt{(0,693147)^{2} + (6,283185)^{2}}}{6,283185} \approx 1,006\\ \mathrm{s}.
  • Observação interpretativa rápida: o período amortecido \tau_{1} é apenas ligeiramente maior que \tau_{0}=1\\ \mathrm{s}, pois o amortecimento é fraco e só reduz um pouco a frequência.

Resposta

\displaystyle \beta = \frac{\omega_{0}\,\ln 2}{\sqrt{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}}}
\displaystyle \tau_{1} = \frac{\sqrt{(\ln 2)^{2} + (2\pi)^{2}}}{\omega_{0}} \approx 1,006\\ \mathrm{s}

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