Uma partícula de massa m presa à extremidade de uma mola de constante elástica k está confinada a se mover apenas ao longo do eixo horizontal x sem sofrer a ação de forças dissipativas. No instante t=0 a partícula está em repouso na situação de equilíbrio e é sujeita a um impulso instantâneo para a direita. Ela se move até a posição x_{\text {max }}=A e continua a oscilar em torno da posição de equilíbrio.
a) Escreva a equação da conservação de energia deste problema e use-a para encontrar a velocidade da partícula \dot{x} em função de sua posição x e de sua energia total E .
b) Mostre que E=1 / 2 k A^{2} e use este resultado para eliminar E de sua equação para \dot{x}. Integre a equação resultante e encontre o tempo necessário para que a partícula se mova de sua posição de equilíbrio em x=0 até uma posição genérica x .
c) Use o resultado do item anterior para encontrar x em função de t e demonstre que a partícula executa um movimento harmônico simples com período 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (sem resolver nada ainda):
  • Há uma partícula de massa m presa a uma mola com constante elástica k.
  • O movimento é unidimensional ao longo do eixo x, sem forças dissipativas (energia mecânica conservada).
  • Em t=0 a partícula está em repouso na posição de equilíbrio x=0 e recebe um impulso para a direita; portanto ela vai até a amplitude máxima x_{\text{max}}=A e oscila depois disso.
    As perguntas pedidas:
    (a) Escrever a equação da conservação de energia e usar para encontrar a velocidade \dot{x} em função de x e da energia total E.
    (b) Mostrar que \,E=\tfrac{1}{2}kA^{2}\, e usar isso para eliminar E da expressão de \dot{x}. Integrar para encontrar o tempo necessário para ir de x=0 até uma posição genérica x.
    (c) Usar o resultado do item (b) para encontrar x(t) e mostrar que o movimento é movimento harmônico simples com período 2\pi\sqrt{m/k}.

Passo 2

Energia mecânica em um sistema massa-mola (sem atrito): a energia total E é a soma da energia cinética T e da energia potencial elástica U.
  • A energia cinética de uma partícula é \;T=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}, onde \dot{x} é a velocidade instantânea.
  • A energia potencial da mola (lei de Hooke) é \;U=\tfrac{1}{2}kx^{2}, onde x é a deformação da mola em relação ao equilíbrio.
    Como não há dissipação, a conservação de energia dá:
E = T + U = \tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2} + \tfrac{1}{2}k x^{2}.
Esta é a equação de conservação de energia pedida no item (a).

Passo 3

A partir da equação de energia, isolamos \dot{x} em função de x e E. Subtraindo \tfrac{1}{2}kx^{2} e multiplicando por 2/m:
\dot{x}^{2} = \frac{2}{m}\left(E - \tfrac{1}{2}k x^{2}\right).
Tomando a raiz quadrada (duas possíveis sinais, + ou −):
\dot{x} = \pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E - \tfrac{1}{2}k x^{2}\right)}.
Isto responde (a): expressão de \dot{x} em termos de x e E. Observação física: o sinal é positivo quando a partícula se move para a direita e negativo quando se move para a esquerda.

Passo 4

Encontrar E usando o ponto de virada x_{\text{max}}=A. No instante do máximo afastamento a velocidade é zero ( \dot{x}=0), logo toda a energia é potencial:
E = \tfrac{1}{2}kA^{2}.
Isto responde a primeira parte do item (b). Agora substituímos E na expressão para \dot{x}:
\dot{x} = \pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(\tfrac{1}{2}kA^{2} - \tfrac{1}{2}k x^{2}\right)} = \pm\sqrt{\frac{k}{m}\left(A^{2}-x^{2}\right)}.
Como em t=0 a partícula recebe um impulso para a direita e parte de x=0 com velocidade positiva, no trecho inicial (de 0 até A) escolhemos o sinal positivo:
\dot{x} = +\sqrt{\frac{k}{m}\left(A^{2}-x^{2}\right)}.

Passo 5

Separação de variáveis para obter o tempo como função da posição. A equação diferencial pode ser escrita como
\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{m}\left(A^{2}-x^{2}\right)}.
Separamos t e x:
dt = \sqrt{\frac{m}{k}}\frac{dx}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}.
Integramos ambos os lados desde x'=0 (em t=0) até x'=x (em tempo t):
t = \sqrt{\frac{m}{k}}\int_{0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{A^{2}-{x'}^{2}}}.

Passo 6

Resolver a integral usando uma substituição trigonométrica simples. Tome x' = A\sin\theta. Então dx' = A\cos\theta\,d\theta e \sqrt{A^{2}-{x'}^{2}} = \sqrt{A^{2}-A^{2}\sin^{2}\theta}=A\cos\theta (preservando \cos\theta\ge 0 para \theta entre 0 e \pi/2).
Os limites: quando x'=0 tem \theta=0; quando x'=x tem \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{A}\right).
Substituindo na integral:
\int_{0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{A^{2}-{x'}^{2}}} = \int_{0}^{\arcsin(x/A)}\frac{A\cos\theta\,d\theta}{A\cos\theta} = \int_{0}^{\arcsin(x/A)} d\theta = \arcsin\!\left(\frac{x}{A}\right).
Portanto o tempo necessário para ir de 0 até x é
t = \sqrt{\frac{m}{k}}\;\arcsin\!\left(\frac{x}{A}\right).

Passo 7

Inverter a relação para obter x em função de t. Da expressão acima:
\arcsin\!\left(\frac{x}{A}\right)=\sqrt{\frac{k}{m}}\,t.
Aplicando seno aos dois lados:
\frac{x}{A} = \sin\!\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right).
Logo
x(t) = A\sin\!\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right).
Definindo \omega \equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}}, escrevemos de forma usual
x(t) = A\sin(\omega t).
Para verificar que isto é movimento harmônico simples, derivamos duas vezes:
\ddot{x}(t) = -\omega^{2}A\sin(\omega t) = -\omega^{2}x(t),
que é a equação do movimento harmônico simples \ddot{x} + \omega^{2}x =0. O período associado é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 8

Comentário final e checagens rápidas (motivação física): em t=0 temos x(0)=0 e \dot{x}(0)=A\omega=\!A\sqrt{k/m}, o que condiz com a energia E=\tfrac{1}{2}m\dot{x}(0)^{2}=\tfrac{1}{2}kA^{2}. Tudo consistente: movimento harmônico simples com amplitude A e período 2\pi\sqrt{m/k}.

Resposta

(a) \displaystyle \dot{x}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\tfrac{1}{2}kx^{2}\right)}.
(b) \displaystyle E=\tfrac{1}{2}kA^{2} e \displaystyle t=\sqrt{\frac{m}{k}}\;\arcsin\!\left(\frac{x}{A}\right).
(c) \displaystyle x(t)=A\sin\!\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right) e \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

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