Uma partícula de massa m presa à extremidade de uma mola de constante elástica k está confinada a se mover apenas ao longo do eixo horizontal x sem sofrer a ação de forças dissipativas. No instante
a partícula está em repouso na situação de equilíbrio e é sujeita a um impulso instantâneo para a direita. Ela se move até a posição
e continua a oscilar em torno da posição de equilíbrio.
a) Escreva a equação da conservação de energia deste problema e use-a para encontrar a velocidade da partícula
em função de sua posição x e de sua energia total E .
b) Mostre que
e use este resultado para eliminar
de sua equação para
. Integre a equação resultante e encontre o tempo necessário para que a partícula se mova de sua posição de equilíbrio em
até uma posição genérica x .
c) Use o resultado do item anterior para encontrar x em função de t e demonstre que a partícula executa um movimento harmônico simples com período
.
a) Escreva a equação da conservação de energia deste problema e use-a para encontrar a velocidade da partícula
b) Mostre que
c) Use o resultado do item anterior para encontrar x em função de t e demonstre que a partícula executa um movimento harmônico simples com período
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (sem resolver nada ainda):
- Há uma partícula de massa
presa a uma mola com constante elástica . - O movimento é unidimensional ao longo do eixo
, sem forças dissipativas (energia mecânica conservada). - Em
a partícula está em repouso na posição de equilíbrio e recebe um impulso para a direita; portanto ela vai até a amplitude máxima e oscila depois disso.
As perguntas pedidas:
(a) Escrever a equação da conservação de energia e usar para encontrar a velocidadeem função de e da energia total .
(b) Mostrar quee usar isso para eliminar da expressão de . Integrar para encontrar o tempo necessário para ir de até uma posição genérica .
(c) Usar o resultado do item (b) para encontrare mostrar que o movimento é movimento harmônico simples com período .
Passo 2
Energia mecânica em um sistema massa-mola (sem atrito): a energia total
é a soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
.
- A energia cinética de uma partícula é
, onde é a velocidade instantânea. - A energia potencial da mola (lei de Hooke) é
, onde é a deformação da mola em relação ao equilíbrio.
Como não há dissipação, a conservação de energia dá:
Esta é a equação de conservação de energia pedida no item (a).
Passo 3
A partir da equação de energia, isolamos
em função de
e
. Subtraindo
e multiplicando por
:
Tomando a raiz quadrada (duas possíveis sinais, + ou −):
Isto responde (a): expressão de
em termos de
e
. Observação física: o sinal é positivo quando a partícula se move para a direita e negativo quando se move para a esquerda.
Passo 4
Encontrar
usando o ponto de virada
. No instante do máximo afastamento a velocidade é zero (
), logo toda a energia é potencial:
Isto responde a primeira parte do item (b). Agora substituímos
na expressão para
:
Como em
a partícula recebe um impulso para a direita e parte de
com velocidade positiva, no trecho inicial (de
até
) escolhemos o sinal positivo:
Passo 5
Separação de variáveis para obter o tempo como função da posição. A equação diferencial pode ser escrita como
Separamos
e
:
Integramos ambos os lados desde
(em
) até
(em tempo
):
Passo 6
Resolver a integral usando uma substituição trigonométrica simples. Tome
. Então
e
(preservando
para
entre
e
).
Os limites: quando tem
; quando
tem
.
Substituindo na integral:
Os limites: quando
Substituindo na integral:
Portanto o tempo necessário para ir de
até
é
Passo 7
Inverter a relação para obter
em função de
. Da expressão acima:
Aplicando seno aos dois lados:
Logo
Definindo
, escrevemos de forma usual
Para verificar que isto é movimento harmônico simples, derivamos duas vezes:
que é a equação do movimento harmônico simples
. O período associado é
Passo 8
Comentário final e checagens rápidas (motivação física): em
temos
e
, o que condiz com a energia
. Tudo consistente: movimento harmônico simples com amplitude
e período
.
Resposta
(a)
(b)
e
(c)
e