Um oscilador sem amortecimento oscila em torno de sua posição de equilíbrio com amplitude de
e com velocidade cujo módulo máximo é
. Qual o período de suas oscilações?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Amplitude:
. - Módulo da velocidade máxima:
.
O que se pede: determinar o período
das oscilações.
Passo 2
Modelo e símbolos: para um movimento harmônico simples sem amortecimento a posição como função do tempo pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (valor máximo de ); -
é a frequência angular (em ); -
é a fase inicial; -
é o tempo.
A velocidade é a derivada temporal de
. Derivando obtemos
Explicando: a função seno varia entre
e
, logo o módulo máximo da velocidade (quando o seno vale
) é
Isto significa que a máxima rapidez ocorre ao passar pela posição de equilíbrio, e a relação entre
,
e
é exatamente essa.
Passo 3
Isolando
a partir de
obtemos
Substituindo os valores dados (peguei
e
do enunciado):
Passo 4
Relação entre período e frequência angular: o período
é o tempo necessário para a fase
variar de
a
. Portanto
Essa fórmula vem do fato de que
aumenta em
radianos por segundo, então para completar
radianos leva
segundos.
Passo 5
Calcular
usando
:
Convertendo para valor decimal (aproximação):
Passo 6
Verificação rápida de consistência (sem cálculo extra): a ordem de grandeza faz sentido: amplitude pequena (
) e velocidade máxima
implicam uma frequência angular de alguns
, logo um período da ordem de
é razoável. Está tudo consistente.
Força extra de ânimo: mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa é a forma que cai na prova. Respira fundo; já era meio caminho andado!