Um oscilador sem amortecimento oscila em torno de sua posição de equilíbrio com amplitude de 0,2 \mathrm{~m} e com velocidade cujo módulo máximo é 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual o período de suas oscilações?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Amplitude: \,A=0,2\\ \mathrm{m}.
  • Módulo da velocidade máxima: \,v_{\max}=1,2\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede: determinar o período \,T das oscilações.

Passo 2

Modelo e símbolos: para um movimento harmônico simples sem amortecimento a posição como função do tempo pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,A é a amplitude (valor máximo de |x|);
  • \,\omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • \,\varphi é a fase inicial;
  • \,t é o tempo.
A velocidade é a derivada temporal de \,x(t). Derivando obtemos
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Explicando: a função seno varia entre -1 e 1, logo o módulo máximo da velocidade (quando o seno vale \pm1) é
v_{\max}=A\omega.
Isto significa que a máxima rapidez ocorre ao passar pela posição de equilíbrio, e a relação entre \,A, \,v_{\max} e \,\omega é exatamente essa.

Passo 3

Isolando \,\omega a partir de \,v_{\max}=A\omega obtemos
\omega=\frac{v_{\max}}{A}.
Substituindo os valores dados (peguei \,A e \,v_{\max} do enunciado):
\omega=\frac{1,2}{0,2}=6\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relação entre período e frequência angular: o período \,T é o tempo necessário para a fase \,\omega t variar de 0 a 2\pi. Portanto
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Essa fórmula vem do fato de que \omega t aumenta em \omega radianos por segundo, então para completar 2\pi radianos leva \,2\pi/\omega segundos.

Passo 5

Calcular T usando \,\omega=6\\ \mathrm{rad/s}:
T=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para valor decimal (aproximação):
T\approx1,04719755\\ \mathrm{s}\approx1,05\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (sem cálculo extra): a ordem de grandeza faz sentido: amplitude pequena ( 0,2\\ \mathrm{m}) e velocidade máxima 1,2\\ \mathrm{m/s} implicam uma frequência angular de alguns \mathrm{rad/s}, logo um período da ordem de 1\\ \mathrm{s} é razoável. Está tudo consistente.
Força extra de ânimo: mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa é a forma que cai na prova. Respira fundo; já era meio caminho andado!

Resposta

T=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{s}\approx1,05\\ \mathrm{s}

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