Para um oscilador composto por uma massa de 400 g preso a uma mola ( k=100 N / m), cuja constante de amortecimento é igual a 40 g / s, determine quantos ficlos será necessário para que a amplitude inicial se reduza à metade da amplitude inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um oscilador com uma massa de 400 g ligada a uma mola com constante de mola $ k = 100 , N/m $. Além disso, a mola tem um amortecimento com constante $ c = 40 , g/s $. O que a gente precisa descobrir é quantos ciclos (ou “ficlos”) são necessários para que a amplitude inicial do movimento seja reduzida pela metade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas da física. Vamos precisar entender como a amplitude diminui com o tempo nesse tipo de movimento e como relacionar isso ao número de ciclos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa: $ m = 400 , g = 0,4 , kg $
  • Constante de amortecimento: $ c = 40 , g/s = 0,04 , kg/s $

Passo 3

Em oscilações amortecidas, a amplitude $ A(t) $ diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve isso é:
A(t)
Aqui:
  • $ A_0 $ é a amplitude inicial.
  • $ c $ é a constante de amortecimento.
  • $ m $ é a massa.
  • $ t $ é o tempo.
Queremos que $ A(t) = \frac{A_0}{2} $. Vamos substituir na fórmula:
A(t) = A0 , e^-c2m t

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo os dois lados por $ A_0 $:
A0
Agora, para resolver para $ t $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
12 = e^-c2m t
Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) $, a equação fica:
t
Cancelando os sinais negativos:
ln(12) = -c2m t

Passo 5

Agora, isolamos $ t $:
t
Vamos substituir os valores:
t = 2mc ln(2)
Calculando $ \ln(2) \approx 0,693 $:
t = 2 times 0,4 , kg0,04 , kg/s ln(2) = 0,80,04 ln(2) = 20 ln(2) , s

Passo 6

Agora que sabemos o tempo necessário para a amplitude reduzir à metade, vamos descobrir quantos ciclos isso representa. Para isso, precisamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas.
A frequência para oscilações amortecidas é dada por:
fd = 12pi raizkm - (c2m)^2
Vamos calcular cada parte:
km = 100 , N/m0,4 , kg = 250 , s^-2
(c2m)^2 = (0,04 , kg/s2 times 0,4 , kg)^2 = (0,040,8)^2 = (0,05)^2 = 0,0025 , s^-2
Então,
fd = 12pi raiz250 - 0,0025 approx 12pi raiz249,9975 approx 12pi times 15,811 approx 15,8116,283 approx 2,517 , Hz

Passo 7

Agora, para encontrar o número de ciclos $ n $, usamos a relação:
n
Substituindo os valores:
n = fd times t

Resposta

Serão necessários aproximadamente 35 ciclos para que a amplitude inicial se reduza à metade da amplitude inicial.

Exercícios relacionados