Para um oscilador composto por uma massa de 400 g preso a uma mola (
), cuja constante de amortecimento é igual a
, determine quantos ficlos será necessário para que a amplitude inicial se reduza à metade da amplitude inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um oscilador com uma massa de 400 g ligada a uma mola com constante de mola $ k = 100 , N/m $. Além disso, a mola tem um amortecimento com constante $ c = 40 , g/s $. O que a gente precisa descobrir é quantos ciclos (ou “ficlos”) são necessários para que a amplitude inicial do movimento seja reduzida pela metade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas da física. Vamos precisar entender como a amplitude diminui com o tempo nesse tipo de movimento e como relacionar isso ao número de ciclos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Massa: $ m = 400 , g = 0,4 , kg $
- Constante de amortecimento: $ c = 40 , g/s = 0,04 , kg/s $
Passo 3
Em oscilações amortecidas, a amplitude $ A(t) $ diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve isso é:
Aqui:
- $ A_0 $ é a amplitude inicial.
- $ c $ é a constante de amortecimento.
- $ m $ é a massa.
- $ t $ é o tempo.
Queremos que $ A(t) = \frac{A_0}{2} $. Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo os dois lados por $ A_0 $:
Agora, para resolver para $ t $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) $, a equação fica:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 5
Agora, isolamos $ t $:
Vamos substituir os valores:
Calculando $ \ln(2) \approx 0,693 $:
Passo 6
Agora que sabemos o tempo necessário para a amplitude reduzir à metade, vamos descobrir quantos ciclos isso representa. Para isso, precisamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas.
A frequência para oscilações amortecidas é dada por:
Vamos calcular cada parte:
Então,
Passo 7
Agora, para encontrar o número de ciclos $ n $, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 35 ciclos para que a amplitude inicial se reduza à metade da amplitude inicial.