Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (
). Em um dado instante t, a posição (medida a partir da posição de equilibrio do sistema) e a aceleração do bloco são
e
. Calcule (a) a frequência angular, (b) a frequência das oscilações e (c) a massa do bloco.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
(constante da mola),
(posição instantânea medida a partir do equilíbrio) e
(aceleração instantânea do bloco). Perguntas:
(a) calcular a frequência angular , (b) calcular a frequência das oscilações
, (c) calcular a massa
do bloco.
(a) calcular a frequência angular
Passo 2
Vamos escrever a equação fundamental do movimento do sistema massa-mola e explicar cada termo. Pelo segundo princípio de Newton o bloco obedece
Aqui
é a massa do bloco (em kg),
é a aceleração (em
),
é a constante elástica da mola (em
) e
é a posição em relação ao equilíbrio (em m). Esta equação significa que a força restauradora da mola é
e provoca a aceleração
do bloco.
Passo 3
Reescrevendo a equação acima na forma padrão do movimento harmônico simples obtemos
Definimos a frequência angular
por
Com essa definição a equação fica
e, isolando a aceleração, temos a relação muito útil
Essa última fórmula relaciona diretamente aceleração, posição e frequência angular: a aceleração em um instante vale
vezes a posição nesse instante.
Passo 4
Usamos a relação
com os valores fornecidos para encontrar
. Isolando
obtemos
Substituindo
e
(observe o sinal de
):
Portanto
Explicação numérica:
está um pouco acima de
, dando aproximadamente
.
Passo 5
Agora calculamos a frequência
(em Hz). A relação entre frequência e frequência angular é
Substituindo
,
Interpretação: o bloco passa pelo mesmo ponto aproximadamente
vezes por segundo.
Passo 6
Finalmente calculamos a massa usando
, que dá
Como
, temos
Comentário: a massa é pequena (cerca de
), o que é consistente com a constante de mola relativamente grande e a frequência angular encontrada.
Passo 7
Cheque rápido de consistência: com
e
a aceleração calculada é
que coincide exatamente com o valor fornecido, então os cálculos estão consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)