Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( \mathbf{k}=\mathbf{4 0 0 ~ N} / \mathbf{m} ). Em um dado instante t, a posição (medida a partir da posição de equilibrio do sistema) e a aceleração do bloco são x=0,100 \mathrm{~m} e a=-123 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule (a) a frequência angular, (b) a frequência das oscilações e (c) a massa do bloco. (3,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
k=400\\ \mathrm{N/m} (constante da mola), x=0,100\\ \mathrm{m} (posição instantânea medida a partir do equilíbrio) e a=-123\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração instantânea do bloco). Perguntas:
(a) calcular a frequência angular \omega, (b) calcular a frequência das oscilações f, (c) calcular a massa m do bloco.

Passo 2

Vamos escrever a equação fundamental do movimento do sistema massa-mola e explicar cada termo. Pelo segundo princípio de Newton o bloco obedece
m\ddot{x}=-kx.
Aqui m é a massa do bloco (em kg), \ddot{x} é a aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}), k é a constante elástica da mola (em \mathrm{N/m}) e x é a posição em relação ao equilíbrio (em m). Esta equação significa que a força restauradora da mola é -kx e provoca a aceleração \ddot{x} do bloco.

Passo 3

Reescrevendo a equação acima na forma padrão do movimento harmônico simples obtemos
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0.
Definimos a frequência angular \omega por
\omega^{2}=\frac{k}{m}.
Com essa definição a equação fica \ddot{x}+\omega^{2}x=0 e, isolando a aceleração, temos a relação muito útil
a=\ddot{x}=-\omega^{2}x.
Essa última fórmula relaciona diretamente aceleração, posição e frequência angular: a aceleração em um instante vale -\omega^{2} vezes a posição nesse instante.

Passo 4

Usamos a relação a=-\omega^{2}x com os valores fornecidos para encontrar \omega. Isolando \omega obtemos
\omega=\sqrt{-\frac{a}{x}}.
Substituindo a=-123\\ \mathrm{m/s^{2}} e x=0,100\\ \mathrm{m} (observe o sinal de a):
-\frac{a}{x}=-\frac{-123}{0,100}=\frac{123}{0,100}=1230.
Portanto
\omega=\sqrt{1230}\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação numérica: \sqrt{1230} está um pouco acima de \sqrt{1225}=35, dando aproximadamente 35,07.

Passo 5

Agora calculamos a frequência f (em Hz). A relação entre frequência e frequência angular é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{35,07}{2\pi}\approx\frac{35,07}{6,2832}\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: o bloco passa pelo mesmo ponto aproximadamente 5,58 vezes por segundo.

Passo 6

Finalmente calculamos a massa usando \omega^{2}=k/m, que dá
m=\frac{k}{\omega^{2}}.
Como \omega^{2}=-a/x=1230, temos
m=\frac{400}{1230}\\ \mathrm{kg}\approx 0,325\\ \mathrm{kg}.
Comentário: a massa é pequena (cerca de 325\\ \mathrm{g}), o que é consistente com a constante de mola relativamente grande e a frequência angular encontrada.

Passo 7

Cheque rápido de consistência: com \omega^{2}=1230 e x=0,100\\ \mathrm{m} a aceleração calculada é
a_{\text{calc}}=-\omega^{2}x=-1230\times0,100=-123\\ \mathrm{m/s^{2}},
que coincide exatamente com o valor fornecido, então os cálculos estão consistentes.

Resposta

(a) \omega\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s}
(b) f\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}
(c) m\approx 0,325\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados