Um oscilador fracamente amortecido tem um período de
. Sua amplitude diminui
em cada ciclo.
e) Qual a posição da partícula em função de
no tempo para o qual a energia média metade do valor inicial? Considere a constante de fase
.
expressões úteis:
e) Qual a posição da partícula em função de
expressões úteis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador fracamente amortecido, que tem um período de 3,0 segundos e a amplitude diminui 5,0% a cada ciclo. A gente precisa encontrar a posição da partícula em função de $ A_{0} $ no tempo quando a energia média é metade do valor inicial, considerando que a constante de fase $ \delta = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e energia em sistemas oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico amortecido, a amplitude varia com o tempo de forma exponencial. A fórmula geral para a amplitude em função do tempo é:
onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento.
Passo 3
Sabemos que a amplitude diminui 5,0% a cada ciclo. Isso significa que após cada período $ T $, a amplitude é 95% da amplitude anterior. Podemos expressar isso como:
Substituindo $ T = 3,0 , s $, temos:
Passo 4
Para encontrar $ \gamma $, resolvemos a equação:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando $ \ln(0,95) $:
Então:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ para o qual a energia média é metade da inicial. A energia média $ \overline{E} $ de um oscilador amortecido é dada por:
Como a energia inicial é $ \overline{E}{0} = \frac{1}{2} k A{0}^2 $, queremos:
Simplificando:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Usando a expressão da amplitude com amortecimento:
Igualamos a $ \frac{A_{0}}{\sqrt{2}} $:
Cancelando $ A_{0} $:
Aplicando o logaritmo natural:
Portanto:
Substituindo $ \gamma \approx 0,0171 , s^{-1} $:
Resposta
A posição da partícula em função de $ A_{0} $ no tempo em que a energia média é metade da inicial é:
Esse resultado ocorre aproximadamente aos 20,3 segundos.