Um oscilador fracamente amortecido tem um período de 3,0 s. Sua amplitude diminui 5,0 % em cada ciclo.
e) Qual a posição da partícula em função de A0 no tempo para o qual a energia média metade do valor inicial? Considere a constante de fase de.
expressões úteis:
l 2) =mp sin alpha, sin (alpha pm pi / 2)= pm cos alpha A0=raizx0^2+(v0omega)^2, cos de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador fracamente amortecido, que tem um período de 3,0 segundos e a amplitude diminui 5,0% a cada ciclo. A gente precisa encontrar a posição da partícula em função de $ A_{0} $ no tempo quando a energia média é metade do valor inicial, considerando que a constante de fase $ \delta = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas e energia em sistemas oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico amortecido, a amplitude varia com o tempo de forma exponencial. A fórmula geral para a amplitude em função do tempo é:
A(t) = A0 e^-gamma t
onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento.

Passo 3

Sabemos que a amplitude diminui 5,0% a cada ciclo. Isso significa que após cada período $ T $, a amplitude é 95% da amplitude anterior. Podemos expressar isso como:
T
Substituindo $ T = 3,0 , s $, temos:
A(T) = 0,95 A0

Passo 4

Para encontrar $ \gamma $, resolvemos a equação:
gamma
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
0,95 = e^-3gamma
ln(0,95) = -3gamma
Calculando $ \ln(0,95) $:
gamma = -ln(0,95)3
Então:
ln(0,95)

Passo 5

Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ para o qual a energia média é metade da inicial. A energia média $ \overline{E} $ de um oscilador amortecido é dada por:
t
Como a energia inicial é $ \overline{E}{0} = \frac{1}{2} k A{0}^2 $, queremos:
E
Simplificando:
E(t) = 12 k A(t)^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
E0 = 12 k A0^2

Passo 6

Usando a expressão da amplitude com amortecimento:
A(t) = A0 e^-gamma t
Igualamos a $ \frac{A_{0}}{\sqrt{2}} $:
A0raiz2
Cancelando $ A_{0} $:
A0 e^-gamma t = A0raiz2
Aplicando o logaritmo natural:
A0
Portanto:
e^-gamma t = 1raiz2
Substituindo $ \gamma \approx 0,0171 , s^{-1} $:
-gamma t = ln(1raiz2) = -12 ln(2)

Resposta

A posição da partícula em função de $ A_{0} $ no tempo em que a energia média é metade da inicial é:
A0
Esse resultado ocorre aproximadamente aos 20,3 segundos.

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