Um oscilador harmônico amortecido consiste de uma partícula de massa
que está sujeita às forças restauradoras
e de amortecimento
, em que
é o deslocamento da partícula,
é a sua velocidade,
e
são constantes positivas. A equação de movimento para este sistema é
onde
é a variável tempo,
é o coeficiente de amortecimento e
é a frequencia natural do oscilador.
Se
ocorre o denominado amortecimento crítico, caracterizado por um movimento não-periódico amortecido, no qual o sistema retorna ao equilíbrio mais rapidamente do que nos outros tipos de amortecimento. Nesta condição, a solução geral é expressa como
, em que
e
são constantes, das quais
e
dependem das condições iniciais. Verifique, por substituição, que
assim expresso é solução da equação de movimento, encontrando
em função de
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento
com
e
. Diz que, no caso de amortecimento crítico, a solução geral tem a forma
onde
e
dependem das condições iniciais e
é uma constante a determinar.
A tarefa é verificar por substituição que essa satisfaz a equação diferencial e encontrar
em função de
.
A tarefa é verificar por substituição que essa
Passo 2
Primeiro calculo as derivadas de
. Uso a regra do produto: se
então
.
Aqui
e
.
Calculo
:
Como
e
, obtemos
Posso reorganizar:
Agora
. Derivo
com
:
Temos
e
. Portanto
Substituindo
,
Faço as multiplicações dentro do colchete:
Ou simplificando termos iguais,
Passo 3
Agora substituo
na equação
Cada termo tem o fator comum
, que não é zero, então posso dividir por ele e trabalhar apenas com o colchete resultante. Substituindo:
Dividindo por
e agrupando termos em
e termos constantes, obtenho
Reescrevendo de forma clara:
Passo 4
Para que essa identidade seja verdadeira para todo
e para quaisquer constantes
e
(note que
e
são livres, dependendo de condições iniciais), os coeficientes independentes de
e os coeficientes de
devem ser nulos separadamente. Assim obtemos o sistema de condições:
Da segunda equação segue imediatamente
Substituindo esse
na primeira equação dá
Ou seja,
que é exatamente a condição de amortecimento crítico mencionada no enunciado. Portanto a forma proposta de
é solução quando
.
Finalmente, voltando às constantes físicas
e
, temos
(Como verificação alternativa, a condição crítica
implica
.)