Um oscilador harmônico amortecido consiste de uma partícula de massa m que está sujeita às forças restauradoras -k x e de amortecimento -b v, em que x é o deslocamento da partícula, v é a sua velocidade, k e b são constantes positivas. A equação de movimento para este sistema é
ddot{x}(t)+\gamma dot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0
onde t é a variável tempo, \gamma=b / m é o coeficiente de amortecimento e \omega_{0}=\sqrt{k / m} é a frequencia natural do oscilador.
Se \gamma / 2=\omega_{2} ocorre o denominado amortecimento crítico, caracterizado por um movimento não-periódico amortecido, no qual o sistema retorna ao equilíbrio mais rapidamente do que nos outros tipos de amortecimento. Nesta condição, a solução geral é expressa como x(t)=e^{-C t}[A+B t], em que A, B e C são constantes, das quais A e B dependem das condições iniciais. Verifique, por substituição, que x(t) assim expresso é solução da equação de movimento, encontrando C em função de m, k e b.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
\ddot{x}(t)+\gamma\dot{x}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=0,
com \gamma=b/m e \omega_{0}=\sqrt{k/m}. Diz que, no caso de amortecimento crítico, a solução geral tem a forma
x(t)=e^{-C t}\bigl(A+B t\bigr),
onde A e B dependem das condições iniciais e C é uma constante a determinar.
A tarefa é verificar por substituição que essa x(t) satisfaz a equação diferencial e encontrar C em função de m,\;k,\;b.

Passo 2

Primeiro calculo as derivadas de x(t). Uso a regra do produto: se x(t)=u(t)v(t) então \dot{x}= \dot{u}v+u\dot{v}.
Aqui u(t)=e^{-Ct} e v(t)=A+B t.
Calculo \dot{x}(t):
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-Ct}\bigr)\,(A+B t)+e^{-Ct}\,\frac{d}{dt}\bigl(A+B t\bigr).
Como \frac{d}{dt}e^{-Ct}=-C e^{-Ct} e \frac{d}{dt}(A+B t)=B, obtemos
\dot{x}(t)= -C e^{-Ct}(A+B t) + e^{-Ct}B = e^{-Ct}\bigl(-C(A+B t)+B\bigr).
Posso reorganizar:
\dot{x}(t)=e^{-Ct}\bigl(-C A + B - C B t\bigr).
Agora \ddot{x}(t). Derivo \dot{x}=e^{-Ct}w(t) com w(t)=-C A + B - C B t:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-Ct}\bigr)w(t)+e^{-Ct}\frac{d}{dt}w(t).
Temos \frac{d}{dt}e^{-Ct}=-C e^{-Ct} e \frac{d}{dt}w(t)=-C B. Portanto
\ddot{x}(t)=-C e^{-Ct}w(t)+e^{-Ct}(-C B).
Substituindo w(t),
\ddot{x}(t)=e^{-Ct}\bigl(-C(-C A + B - C B t)-C B\bigr).
Faço as multiplicações dentro do colchete:
\ddot{x}(t)=e^{-Ct}\bigl(C^{2}A - C B + C^{2}B t - C B\bigr).
Ou simplificando termos iguais,
\ddot{x}(t)=e^{-Ct}\bigl(C^{2}A + C^{2}B t - 2C B\bigr).

Passo 3

Agora substituo \ddot{x},\\ \dot{x},\\ x na equação
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0.
Cada termo tem o fator comum e^{-Ct}, que não é zero, então posso dividir por ele e trabalhar apenas com o colchete resultante. Substituindo:
e^{-Ct}\bigl(C^{2}A + C^{2}B t - 2C B\bigr) +\gamma\,e^{-Ct}\bigl(-C A + B - C B t\bigr) +\omega_{0}^{2}\,e^{-Ct}\bigl(A + B t\bigr)=0.
Dividindo por e^{-Ct} e agrupando termos em t e termos constantes, obtenho
\bigl(C^{2}-\gamma C+\omega_{0}^{2}\bigr)\,B\,t +\bigl(C^{2}-\gamma C+\omega_{0}^{2}\bigr)\,A + B\bigl(-2C+\gamma\bigr)=0.
Reescrevendo de forma clara:
\bigl(C^{2}-\gamma C+\omega_{0}^{2}\bigr)\bigl(A+B t\bigr)+B\bigl(-2C+\gamma\bigr)=0.

Passo 4

Para que essa identidade seja verdadeira para todo t e para quaisquer constantes A e B (note que A e B são livres, dependendo de condições iniciais), os coeficientes independentes de t e os coeficientes de t devem ser nulos separadamente. Assim obtemos o sistema de condições:
C^{2}-\gamma C+\omega_{0}^{2}=0 \qquad\text{e}\qquad -2C+\gamma=0.
Da segunda equação segue imediatamente
C=\frac{\gamma}{2}.
Substituindo esse C na primeira equação dá
\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{2}-\gamma\left(\frac{\gamma}{2}\right)+\omega_{0}^{2} = \frac{\gamma^{2}}{4}-\frac{\gamma^{2}}{2}+\omega_{0}^{2} = \omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}=0.
Ou seja,
\omega_{0}^{2}=\frac{\gamma^{2}}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad \omega_{0}=\frac{\gamma}{2},
que é exatamente a condição de amortecimento crítico mencionada no enunciado. Portanto a forma proposta de x(t) é solução quando C=\gamma/2.
Finalmente, voltando às constantes físicas \gamma=b/m e \omega_{0}=\sqrt{k/m}, temos
C=\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\frac{b}{m}=\frac{b}{2m}.
(Como verificação alternativa, a condição crítica \omega_{0}=\gamma/2 implica b^{2}=4km.)

Resposta

\displaystyle C=\frac{b}{2m}

Exercícios relacionados