Questão 1: Um objeto move-se em uma trajetória não retilínea descrita pela função vetorial de velocidade: \vec{v}(t)=(20 t) \hat{i}+\left(6 t^{2}\right) \hat{j} sendo x em metros e t em segundos. Saiba que a posição inicial é \mathrm{x}_{0}=-20 metros e \mathrm{y}_{0}=5 em y (OU SEJA, \vec{r}_{0}(t)=-20 \hat{i}+5 \hat{j} )
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição - \boldsymbol{v}(t) e o vetor aceleração - \boldsymbol{a}(t).
(b) Calcule o vetor velocidade média do objeto após decorrer os dois primeiros segundos e calcule o vetor velocidade instantânea em t=2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • A velocidade instantânea do objeto é dada por \vec{v}(t)=(20\,t)\,\hat{i}+\bigl(6\,t^{2}\bigr)\,\hat{j}, com t em segundos e x em metros.
  • A posição inicial (em t=0) é \vec{r}_{0}=-20\,\hat{i}+5\,\hat{j}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a equação horária vetorial da posição \vec{r}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t).
    (b) Calcular o vetor velocidade média nos primeiros dois segundos e calcular o vetor velocidade instantânea em t=2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular nada).
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em fórmulas:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}.
Isto significa que, componente a componente, a velocidade é a derivada das coordenadas da posição.
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}.
  • Para obter a posição a partir da velocidade, integramos a velocidade no tempo e somamos a posição inicial (assumindo t_0=0):
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_{0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.
Aqui t' é uma variável de integração; a integral é feita componente a componente.
  • Regras simples usadas:
    • Derivada: \dfrac{d}{dt} t^{n}=n\,t^{n-1}.
    • Integral: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (onde C é a constante de integração).

Passo 3

Calcular o vetor aceleração \vec{a}(t) diferenciando \vec{v}(t) componente a componente.
A velocidade é
\vec{v}(t)=(20\,t)\,\hat{i}+\bigl(6\,t^{2}\bigr)\,\hat{j}.
Derivando a componente x: \dfrac{d}{dt}(20\,t)=20 (pois \dfrac{d}{dt}t=1 e a constante 20 sai multiplicando).
Derivando a componente y: \dfrac{d}{dt}(6\,t^{2})=6\cdot 2\,t=12\,t (pela regra \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t).
Portanto
\vec{a}(t)=20\,\hat{i}+12\,t\,\hat{j}.

Passo 4

Determinar \vec{r}(t) integrando \vec{v}(t) e usando \vec{r}_0.
Usamos
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_{0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.
Integramos componente a componente.
Componente x:
\int_{0}^{t}20\,t'\,dt' = 20\int_{0}^{t}t'\,dt' = 20\left[\frac{t'^{2}}{2}\right]_{0}^{t} = 20\cdot\frac{t^{2}}{2}=10\,t^{2}.
Somando a posição inicial x_0=-20:
x(t) = -20 + 10\,t^{2}.
Componente y:
\int_{0}^{t}6\,t'^{2}\,dt' = 6\int_{0}^{t}t'^{2}\,dt' = 6\left[\frac{t'^{3}}{3}\right]_{0}^{t} = 6\cdot\frac{t^{3}}{3}=2\,t^{3}.
Somando y_0=5:
y(t) = 5 + 2\,t^{3}.
Juntando as componentes:
\vec{r}(t)=\bigl(-20 + 10\,t^{2}\bigr)\,\hat{i}+\bigl(5 + 2\,t^{3}\bigr)\,\hat{j}.

Passo 5

Calcular o vetor velocidade média nos primeiros dois segundos.
Definição de velocidade média entre t_{1} e t_{2}:
\bar{\vec{v}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(t_{2})-\vec{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui usamos t_{1}=0 e t_{2}=2.
Primeiro calculemos \vec{r}(2) usando a expressão obtida:
  • Componente x:
x(2) = -20 + 10\cdot(2)^{2} = -20 + 10\cdot 4 = -20 + 40 = 20.
  • Componente y:
y(2) = 5 + 2\cdot(2)^{3} = 5 + 2\cdot 8 = 5 + 16 = 21.
Portanto \vec{r}(2)=20\,\hat{i}+21\,\hat{j}.
Também \vec{r}(0)=\vec{r}_0=-20\,\hat{i}+5\,\hat{j}.
Agora \Delta\vec{r}=\vec{r}(2)-\vec{r}(0)=(20-(-20))\,\hat{i}+(21-5)\,\hat{j}=40\,\hat{i}+16\,\hat{j}.
Dividindo por \Delta t=2:
\bar{\vec{v}}=\frac{40\,\hat{i}+16\,\hat{j}}{2}=20\,\hat{i}+8\,\hat{j}.

Passo 6

Calcular a velocidade instantânea em t=2 (basta avaliar \vec{v}(t) em t=2).
A velocidade é \vec{v}(t)=(20\,t)\,\hat{i}+\bigl(6\,t^{2}\bigr)\,\hat{j}.
Substituindo t=2:
\vec{v}(2)=20\cdot 2\,\hat{i}+6\cdot(2)^{2}\,\hat{j}=40\,\hat{i}+6\cdot 4\,\hat{j}=40\,\hat{i}+24\,\hat{j}.

Passo 7

Pequena interpretação para fixar a ideia (curta e motivadora):
  • A posição \vec{r}(t) veio integrando a velocidade e reajustando com a posição inicial. Sempre que der uma velocidade em função do tempo, integrar componente a componente dá a trajetória (até uma constante que é a posição inicial).
  • A aceleração é simplesmente a derivada da velocidade: se a componente da velocidade é um polinômio em t, a aceleração é outro polinômio com grau reduzido.
  • No caso, a velocidade média entre 0 e 2 acabou sendo menor componente a componente que a velocidade instantânea em t=2 na componente x e também menor na componente y; isso geralmente acontece quando a velocidade aumenta com o tempo (como aqui).

Resposta

\vec{r}(t)=\bigl(-20 + 10\,t^{2}\bigr)\,\hat{i}+\bigl(5 + 2\,t^{3}\bigr)\,\hat{j}
\vec{a}(t)=20\,\hat{i}+12\,t\,\hat{j}
\bar{\vec{v}}\\ (\text{para }0\le t\le2)=20\,\hat{i}+8\,\hat{j}
\vec{v}(2)=40\,\hat{i}+24\,\hat{j}

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