Questão 1: Um objeto move-se em uma trajetória não retilínea descrita pela função vetorial de velocidade:
sendo
em metros e
em segundos. Saiba que a posição inicial é
metros e
em y (OU SEJA,
)
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição -
e o vetor aceleração -
.
(b) Calcule o vetor velocidade média do objeto após decorrer os dois primeiros segundos e calcule o vetor velocidade instantânea em
.
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição -
(b) Calcule o vetor velocidade média do objeto após decorrer os dois primeiros segundos e calcule o vetor velocidade instantânea em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
- A velocidade instantânea do objeto é dada por
, com em segundos e em metros. - A posição inicial (em
) é . - Perguntas:
(a) Encontrar a equação horária vetorial da posiçãoe o vetor aceleração .
(b) Calcular o vetor velocidade média nos primeiros dois segundos e calcular o vetor velocidade instantânea em.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular nada).
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em fórmulas:
Isto significa que, componente a componente, a velocidade é a derivada das coordenadas da posição.
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Para obter a posição a partir da velocidade, integramos a velocidade no tempo e somamos a posição inicial (assumindo
):
Aqui
é uma variável de integração; a integral é feita componente a componente.
- Regras simples usadas:
- Derivada:
. - Integral:
(onde é a constante de integração).
- Derivada:
Passo 3
Calcular o vetor aceleração
diferenciando
componente a componente.
A velocidade é
Derivando a componente
:
(pois
e a constante 20 sai multiplicando).
Derivando a componente
:
(pela regra
).
Portanto
Passo 4
Determinar
integrando
e usando
.
Usamos
Integramos componente a componente.
Componente
:
Somando a posição inicial
:
Componente
:
Somando
:
Juntando as componentes:
Passo 5
Calcular o vetor velocidade média nos primeiros dois segundos.
Definição de velocidade média entre
e
:
Aqui usamos
e
.
Primeiro calculemos
usando a expressão obtida:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
.
Também
.
Agora
Dividindo por
:
Passo 6
Calcular a velocidade instantânea em
(basta avaliar
em
).
A velocidade é
Substituindo
:
Passo 7
Pequena interpretação para fixar a ideia (curta e motivadora):
- A posição
veio integrando a velocidade e reajustando com a posição inicial. Sempre que der uma velocidade em função do tempo, integrar componente a componente dá a trajetória (até uma constante que é a posição inicial). - A aceleração é simplesmente a derivada da velocidade: se a componente da velocidade é um polinômio em
, a aceleração é outro polinômio com grau reduzido. - No caso, a velocidade média entre
e acabou sendo menor componente a componente que a velocidade instantânea em na componente e também menor na componente ; isso geralmente acontece quando a velocidade aumenta com o tempo (como aqui).