Um oscilador harmônico é composto por um bloco de massa 2,72 x 10^{5} \mathrm{~kg}, operando com uma \mathrm{f}=100 Hz e \mathrm{x}_{0}=20 \mathrm{~cm}. Calcule:
a) Energia Mecânica total
b) V_{\text {máx }}á

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular a energia mecânica total do oscilador harmônico.
b) Calcular a velocidade máxima V_{\text{máx}}á do bloco.
Dados fornecidos (vou reescrever em notação conveniente):
m = 2,72\times 10^{5}\\ \mathrm{kg},
f = 100\\ \mathrm{Hz},
x_{0} = 20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m}.
Aqui m é a massa, f é a frequência de oscilação e x_{0} é a amplitude (deslocamento máximo).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas essenciais do oscilador harmônico simples (vou explicar cada símbolo):
  • A pulsação (frequência angular) \omega está relacionada com a frequência f por
\omega = 2\pi f,
onde \omega tem unidades de rad/s e f de Hz.
  • A velocidade máxima V_{\text{máx}}á ocorre quando toda a energia é cinética (no instante em que o bloco passa pelo equilíbrio) e é dada por
V_{\text{máx}} = \omega A,á
onde A é a amplitude ( A=x_{0}).
  • A energia mecânica total E (constante ao longo do movimento, soma da potencial elástica e da cinética) pode ser escrita de várias formas equivalentes; as mais úteis aqui são
E = \tfrac{1}{2}kA^{2} \quad\text{ou}\quad E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2} \quad\text{ou}\quad E = \tfrac{1}{2}mV_{\text{máx}}^{2}.á
Explico: k é a constante elástica da mola (não foi dada diretamente), mas como \omega^{2}=k/m podemos eliminar k e usar m e \omega.

Passo 3

Calcular \omega. Usando \omega = 2\pi f:
\omega = 2\pi\cdot 100 = 200\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser aproximar numericamente:
\omega \approx 628,319\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular V_{\text{máx}} = \omega Aá. Substituindo \omega e A=x_{0}=0,20\\ \mathrm{m}:
V_{\text{máx}} = (200\pi)\cdot 0,20 = 40\pi\\ \mathrm{m/s}.á
Aproximando numericamente:
V_{\text{máx}} \approx 125,664\\ \mathrm{m/s}.á
Dica prática para a prova: identificar logo que V_{\text{máx}}=\omega Aá e fazer a conversão de centímetros para metros antes de multiplicar — isso evita erro de ordem de grandeza.

Passo 5

Calcular a energia mecânica total usando E=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}. Podemos simplificar usando V_{\text{máx}}=\omega Aá, então
E=\tfrac{1}{2}mV_{\text{máx}}^{2}.á
Usando a forma com \omega para mostrar a relação:
E=\tfrac{1}{2}m(\omega A)^{2}=\tfrac{1}{2}m(200\pi\cdot 0,20)^{2}.
Mas é mais elegante observar que V_{\text{máx}}=40\piá, então
V_{\text{máx}}^{2}=(40\pi)^{2}=1600\pi^{2}.á
Portanto
E=\tfrac{1}{2}m\cdot 1600\pi^{2}=800\,m\pi^{2}.
Substituindo m=2,72\times 10^{5}\\ \mathrm{kg}:
E = 800\cdot(2,72\times 10^{5})\cdot \pi^{2}.
Calculemos numericamente: primeiro 800\cdot 2,72\times 10^{5}=2,176\times 10^{8}. Multiplicando por \pi^{2} (com \pi^{2}\approx 9,8696044):
E \approx 2,176\times 10^{8}\cdot 9,8696044 \approx 2,147625918\times 10^{9}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E \approx 2,15\times 10^{9}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Pequena verificação (útil na prova): verificar que E=\tfrac{1}{2}mV_{\text{máx}}^{2}á dá o mesmo número. Usando V_{\text{máx}}=40\piá:
E=\tfrac{1}{2}\cdot(2,72\times 10^{5})\cdot(40\pi)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2,72\times 10^{5}\cdot 1600\pi^{2},
o que simplifica para o mesmo valor encontrado em

Resposta

a) E \approx 2,15\times 10^{9}\\ \mathrm{J}
b) V_{\text{máx}} = 40\pi\\ \mathrm{m/s} \approx 125,664\\ \mathrm{m/s}á

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