Um bloco de massa 680 kg está preso a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância \mathrm{x}=11 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio \mathrm{x}=0 \mathrm{e}, liberado a partir do repouso no instante \mathrm{t}=0.
a) Quais os valores de \omega, \mathrm{fe} \mathrm{T} ?
b) Qual a amplitude?
c) Qual a velocidade máxima?
d) Qual a aceleração máxima?
e) Qual é a fase?

Passo 1

O enunciado pede várias informações sobre o movimento de um bloco ligado a uma mola e liberado a partir do repouso. Perguntas: (a) quais são \omega, a frequência \mathrm{f} e o período \mathrm{T}? (b) qual a amplitude? (c) qual a velocidade máxima? (d) qual a aceleração máxima? (e) qual é a fase?
Dados fornecidos: \mathrm{m}=680\\ \mathrm{kg}, \mathrm{k}=65\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}, deslocamento inicial x(0)=0,11\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado: 11\\ \mathrm{cm}=0,11\\ \mathrm{m}), e velocidade inicial v(0)=0 (foi liberado a partir do repouso no instante t=0). Não há atrito.

Passo 2

Conceito e equação do movimento harmônico simples — aula rápida e necessária: para um bloco massa-mola sem atrito a equação do movimento é
m\ddot{x}+kx=0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração (derivada segunda de x em relação ao tempo), m é a massa e k a constante elástica da mola. Uma solução geral assume-se da forma
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em módulo),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{s}^{-1}),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
    Derivando duas vezes e substituindo na equação diferencial obtemos
-m\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi)+kA\cos(\omega t+\varphi)=0,
o que implica
\omega^2=\frac{k}{m}.
A partir de \omega obtemos a frequência e o período:
\mathrm{f}=\frac{\omega}{2\pi},\qquad \mathrm{T}=\frac{2\pi}{\omega}.
As expressões para velocidade e aceleração são (derivando x(t)):
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),\qquad a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
Portanto os máximos em módulo são \;v_{\max}=A\omega\; e \;a_{\max}=A\omega^2\;.

Passo 3

Cálculo de \omega passo a passo: primeiro calcule \dfrac{k}{m}.
\frac{k}{m}=\frac{65}{680}=0,09558823529411765\\ (\text{unidade } \mathrm{s}^{-2}).
Agora \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}:
\omega=\sqrt{0,09558823529411765}\approx 0,309265\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
\omega\approx 0,309\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Cálculo de \mathrm{f} e \mathrm{T} usando \omega. Primeiro a frequência:
\mathrm{f}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{0,309265}{2\pi}\approx\frac{0,309265}{6,283185}=0,04924\\ \mathrm{Hz}.
Agora o período:
\mathrm{T}=\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{2\pi}{\omega}\approx\frac{6,283185}{0,309265}=20,32\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinação da amplitude A. Explicação: como o bloco é puxado até x(0)=0,11\\ \mathrm{m} e liberado do repouso ( v(0)=0), essa posição inicial é o deslocamento máximo (ponto de inversão) — portanto a amplitude é o módulo desse deslocamento inicial. Logo
A=|x(0)|=0,11\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Velocidade máxima v_{\max}. Derivação breve: v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi). O módulo máximo de \sin é 1, então
v_{\max}=A\omega.
Substituindo A=0,11\\ \mathrm{m} e \omega=0,309265\\ \mathrm{s}^{-1}:
v_{\max}=0,11\cdot 0,309265\approx 0,0340199\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_{\max}\approx 0,0340\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Aceleração máxima a_{\max}. Derivação breve: a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi). O módulo máximo de \cos é 1, então
a_{\max}=A\omega^2.
Usando \omega^2=\dfrac{k}{m}=0,0955882353 e A=0,11\\ \mathrm{m}:
a_{\max}=0,11\cdot 0,0955882353\approx 0,0105147\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando:
a_{\max}\approx 0,01052\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Determinação da fase \varphi pelas condições iniciais. Usamos a forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Aplicando em t=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=0,11\\ \mathrm{m}.
E para a velocidade inicial:
v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=0.
Da segunda equação obtemos \sin(\varphi)=0, o que dá \varphi=n\pi (com n inteiro). Da primeira, A\cos(\varphi)=0,11 com A=0,11, então \cos(\varphi)=1. A solução compatível é
\varphi=0\\ (\text{ou }2\pi,\text{ etc.})
Portanto a fase principal (menor em módulo) é \varphi=0 radianos. Intuição física: começar em afastamento máximo e com velocidade zero corresponde a um cosseno sem deslocamento de fase.

Resposta

(a) \omega\approx 0,309\\ \mathrm{s}^{-1},\quad \mathrm{f}\approx 0,0492\\ \mathrm{Hz},\quad \mathrm{T}\approx 20,32\\ \mathrm{s}.
(b) A=0,11\\ \mathrm{m}.
(c) v_{\max}\approx 0,0340\\ \mathrm{m/s}.
(d) a_{\max}\approx 0,01052\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(e) \varphi=0\\ \text{rad}.

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