Um bloco de massa 680 kg está preso a uma mola de constante elástica
. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância
a partir da posição de equilíbrio
, liberado a partir do repouso no instante
.
a) Quais os valores de
?
b) Qual a amplitude?
c) Qual a velocidade máxima?
d) Qual a aceleração máxima?
e) Qual é a fase?
a) Quais os valores de
b) Qual a amplitude?
c) Qual a velocidade máxima?
d) Qual a aceleração máxima?
e) Qual é a fase?
Passo 1
O enunciado pede várias informações sobre o movimento de um bloco ligado a uma mola e liberado a partir do repouso. Perguntas: (a) quais são
, a frequência
e o período
? (b) qual a amplitude? (c) qual a velocidade máxima? (d) qual a aceleração máxima? (e) qual é a fase?
Dados fornecidos: ,
, deslocamento inicial
(peguei do enunciado:
), e velocidade inicial
(foi liberado a partir do repouso no instante
). Não há atrito.
Dados fornecidos:
Passo 2
Conceito e equação do movimento harmônico simples — aula rápida e necessária: para um bloco massa-mola sem atrito a equação do movimento é
Aqui
é a aceleração (derivada segunda de
em relação ao tempo),
é a massa e
a constante elástica da mola. Uma solução geral assume-se da forma
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento em módulo), -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (em radianos).
Derivando duas vezes e substituindo na equação diferencial obtemos
o que implica
A partir de
obtemos a frequência e o período:
As expressões para velocidade e aceleração são (derivando
):
Portanto os máximos em módulo são
e
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo: primeiro calcule
.
Agora
:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Passo 4
Cálculo de
e
usando
. Primeiro a frequência:
Agora o período:
Passo 5
Determinação da amplitude
. Explicação: como o bloco é puxado até
e liberado do repouso (
), essa posição inicial é o deslocamento máximo (ponto de inversão) — portanto a amplitude é o módulo desse deslocamento inicial. Logo
Passo 6
Velocidade máxima
. Derivação breve:
. O módulo máximo de
é
, então
Substituindo
e
:
Arredondando:
Passo 7
Aceleração máxima
. Derivação breve:
. O módulo máximo de
é
, então
Usando
e
:
Arredondando:
Passo 8
Determinação da fase
pelas condições iniciais. Usamos a forma
. Aplicando em
:
E para a velocidade inicial:
Da segunda equação obtemos
, o que dá
(com
inteiro). Da primeira,
com
, então
. A solução compatível é
Portanto a fase principal (menor em módulo) é
radianos. Intuição física: começar em afastamento máximo e com velocidade zero corresponde a um cosseno sem deslocamento de fase.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)