Um oscilador harmônico é constituído por uma massa m presa a uma mola com constante elástica k. A massa oscila em torno do ponto de equilibrio com uma amplitude A. Determine as posiçōes em torno do ponto de equilibrio em que a energia cinética do oscilador é igual à metade da energia potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico, que é basicamente uma massa m ligada a uma mola com constante elástica k. Essa massa está oscilando em volta do ponto de equilíbrio com uma amplitude A, que é o quanto ela se move para frente e para trás. O que a gente precisa descobrir são as posições em que a energia cinética (a energia do movimento) é igual à metade da energia potencial (a energia armazenada na mola). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de energia cinética e potencial no movimento harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar:
  • Energia Cinética (EC):
    EC = 12 m v^2
    Onde v é a velocidade da massa.
  • Energia Potencial Elástica (EP):
    EP = 12 k x^2
    Onde x é o deslocamento da posição de equilíbrio.
No movimento harmônico simples, a velocidade v e o deslocamento x estão relacionados pela equação:
v = omega raizA^2 - x^2
Onde omega é a frequência angular, dada por:
omega = raizkm
Agora, queremos achar as posições x onde a energia cinética é metade da energia potencial, ou seja:
EC = 12 EP
Substituindo as fórmulas de EC e EP:
12 m v^2 = 12 ( 12 k x^2 )
Simplificando:
m v^2 = 12 k x^2
Agora, substituímos v pela expressão em termos de x:
m ( omega raizA^2 - x^2 )^2 = 12 k x^2
Lembrando que omega^2 = km:
m ( km (A^2 - x^2) ) = 12 k x^2
Simplificando:
k (A^2 - x^2) = 12 k x^2
Dividindo ambos os lados por k:
A^2 - x^2 = 12 x^2
Rearranjando:
A^2 = 32 x^2
Isolando x^2:
x^2 = 23 A^2
Tirando a raiz quadrada:
x = pm raiz23 A

Resposta

As posições são x = pm raizdfrac23 , A em relação ao ponto de equilíbrio.

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