Um oscilador harmônico é constituído por uma massa
presa a uma mola com constante elástica
. A massa oscila em torno do ponto de equilibrio com uma amplitude
. Determine as posiçōes em torno do ponto de equilibrio em que a energia cinética do oscilador é igual à metade da energia potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico, que é basicamente uma massa
ligada a uma mola com constante elástica
. Essa massa está oscilando em volta do ponto de equilíbrio com uma amplitude
, que é o quanto ela se move para frente e para trás. O que a gente precisa descobrir são as posições em que a energia cinética (a energia do movimento) é igual à metade da energia potencial (a energia armazenada na mola). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de energia cinética e potencial no movimento harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos usar:
-
Energia Cinética (EC):Onde
é a velocidade da massa. -
Energia Potencial Elástica (EP):Onde
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
No movimento harmônico simples, a velocidade
e o deslocamento
estão relacionados pela equação:
Onde
é a frequência angular, dada por:
Agora, queremos achar as posições
onde a energia cinética é metade da energia potencial, ou seja:
Substituindo as fórmulas de EC e EP:
Simplificando:
Agora, substituímos
pela expressão em termos de
:
Lembrando que
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando:
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
As posições são
em relação ao ponto de equilíbrio.