Um oscilador harmônico encontra-se no auto-estado fundamental
. Qual é a probabilidade de se encontrar esta partícula fora da região classicamente permitida?
Passo 1
O enunciado diz: um oscilador harmônico está no auto-estado fundamental
. A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida? \n
Informações relevantes dadas ou necessárias (lista clara do que temos):
Informações relevantes dadas ou necessárias (lista clara do que temos):
- O estado é o estado fundamental
do oscilador harmônico.
- A região classicamente permitida é a região
definida pelos pontos de inversão clássicos (turning points), onde a energia total iguala o potencial .
- Precisamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula com
, ou seja (a simetria par do problema justificará o fator 2).
- Não houve fornecimento explícito da forma de
no enunciado, mas este é um dado padrão que vamos usar: a forma normalizada do estado fundamental do oscilador harmônico. Não se trata de inventar dados: essa é a expressão conhecida e necessária para resolver a questão.
Passo 2
Escrevendo a forma conhecida e normalizada do estado fundamental e explicando cada termo. A função de onda do estado fundamental é uma gaussiana:
Explicação didática:
- Aqui
é a massa da partícula, é a frequência angular do oscilador e é a constante de Planck reduzida.
- O fator
é o fator de normalização; ele é escolhido para que a probabilidade total seja 1, isto é .
- Para ver de onde vem o fator de normalização: calcule
. Colocando , temos . A integral gaussiana garante a normalização e justifica o fator .
Passo 3
Encontrar os pontos de inversão clássicos
. Explicação didática:
- A energia do estado fundamental é
.
- O potencial do oscilador é
.
- Os pontos de inversão são as soluções de
. Assim
- Cancelando
e isolando ,
- Observação prática: essa expressão implica
com (isso vai simplificar a integral).
Passo 4
Expressar a probabilidade fora da região clássica em termos da função de onda. Como a função é par, a probabilidade de
é
Substituindo
com
, obtemos
Passo 5
Troca de variável para reduzir à forma padrão da função erro. Faça a substituição
Quando
, então
(usei aqui o resultado
do Passo 3). Assim a integral fica
Simplificando,
Passo 6
Reconhecer a função erro complementar (erfc) e escrever a resposta exata. Definição e explicação:
- A função erro
é definida por
- A função erro complementar é
.
- Comparando com a expressão do Passo 5, vemos que
Isso é uma forma exata e padrão de escrever a probabilidade.
Passo 7
Valor numérico e interpretação final (com incentivo):
- O valor numérico conhecido é
.
- Em termos percentuais, isso dá cerca de
. Ou seja: mesmo no estado fundamental, há uma probabilidade não desprezível (≈15,7%) de encontrar a partícula em regiões proibidas classicamente — é um efeito puramente quântico chamado tunelamento ou penetração quântica.
- Você consegue lembrar: apesar de o clássico proibir, a mecânica quântica permite “cauda” da gaussiana fora dos pontos de inversão. Isso é exatamente o que calculamos aqui. Força aí — esse tipo de integral gaussiana e a relação com
costuma cair em prova!