Um oscilador harmônico encontra-se no auto-estado fundamental \psi_{0}(x). Qual é a probabilidade de se encontrar esta partícula fora da região classicamente permitida?

Passo 1

O enunciado diz: um oscilador harmônico está no auto-estado fundamental \psi_{0}(x). A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida? \n
Informações relevantes dadas ou necessárias (lista clara do que temos):
  • O estado é o estado fundamental \psi_{0}(x) do oscilador harmônico.
  • A região classicamente permitida é a região |x|\le x_{\text{cl}} definida pelos pontos de inversão clássicos (turning points), onde a energia total E iguala o potencial V(x).
  • Precisamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula com |x|>x_{\text{cl}}, ou seja P_{\text{fora}}=2\int_{x_{\text{cl}}}^{\infty}|\psi_{0}(x)|^{2}\,dx (a simetria par do problema justificará o fator 2).
  • Não houve fornecimento explícito da forma de \psi_{0}(x) no enunciado, mas este é um dado padrão que vamos usar: a forma normalizada do estado fundamental do oscilador harmônico. Não se trata de inventar dados: essa é a expressão conhecida e necessária para resolver a questão.

Passo 2

Escrevendo a forma conhecida e normalizada do estado fundamental e explicando cada termo. A função de onda do estado fundamental é uma gaussiana:
\psi_{0}(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\!\biggl(-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}\biggr).
Explicação didática:
  • Aqui m é a massa da partícula, \omega é a frequência angular do oscilador e \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • O fator \left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} é o fator de normalização; ele é escolhido para que a probabilidade total seja 1, isto é \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{0}(x)|^{2}dx=1.
  • Para ver de onde vem o fator de normalização: calcule \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{0}(x)|^{2}dx. Colocando \alpha=\dfrac{m\omega}{\hbar}, temos |\psi_{0}(x)|^{2}=(\alpha/\pi)^{1/2}\,e^{-\alpha x^{2}}. A integral gaussiana \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\sqrt{\pi/\alpha} garante a normalização e justifica o fator (\alpha/\pi)^{1/2}.

Passo 3

Encontrar os pontos de inversão clássicos x_{\text{cl}}. Explicação didática:
  • A energia do estado fundamental é \displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}\hbar\omega.
  • O potencial do oscilador é \displaystyle V(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
  • Os pontos de inversão são as soluções de E_{0}=V(x). Assim
\frac{1}{2}\hbar\omega=\frac{1}{2}m\omega^{2}x_{\text{cl}}^{2}.
  • Cancelando \tfrac{1}{2} e isolando x_{\text{cl}},
x_{\text{cl}}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.
  • Observação prática: essa expressão implica \alpha x_{\text{cl}}^{2}=1 com \alpha=\dfrac{m\omega}{\hbar} (isso vai simplificar a integral).

Passo 4

Expressar a probabilidade fora da região clássica em termos da função de onda. Como a função é par, a probabilidade de |x|>x_{\text{cl}} é
P_{\text{fora}}=2\int_{x_{\text{cl}}}^{\infty}|\psi_{0}(x)|^{2}\,dx.
Substituindo |\psi_{0}(x)|^{2}=(\alpha/\pi)^{1/2}e^{-\alpha x^{2}} com \alpha=\dfrac{m\omega}{\hbar}, obtemos
P_{\text{fora}}=2\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\int_{x_{\text{cl}}}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}\,dx.

Passo 5

Troca de variável para reduzir à forma padrão da função erro. Faça a substituição
u=\sqrt{\alpha}\,x\quad\Rightarrow\quad du=\sqrt{\alpha}\,dx.
Quando x=x_{\text{cl}}, então u_{0}=\sqrt{\alpha}\,x_{\text{cl}}=1 (usei aqui o resultado \alpha x_{\text{cl}}^{2}=1 do Passo 3). Assim a integral fica
P_{\text{fora}}=2\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\int_{x_{\text{cl}}}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}\,dx =2\left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/2}\int_{1}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du.
Simplificando,
P_{\text{fora}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{1}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du.

Passo 6

Reconhecer a função erro complementar (erfc) e escrever a resposta exata. Definição e explicação:
  • A função erro \operatorname{erf}(z) é definida por
\operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt.
  • A função erro complementar é \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{z}^{\infty}e^{-t^{2}}\,dt.
  • Comparando com a expressão do Passo 5, vemos que
P_{\text{fora}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{1}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du=\operatorname{erfc}(1).
Isso é uma forma exata e padrão de escrever a probabilidade.

Passo 7

Valor numérico e interpretação final (com incentivo):
  • O valor numérico conhecido é \operatorname{erfc}(1)\approx 0{,}157299.
  • Em termos percentuais, isso dá cerca de 15{,}73\%. Ou seja: mesmo no estado fundamental, há uma probabilidade não desprezível (≈15,7%) de encontrar a partícula em regiões proibidas classicamente — é um efeito puramente quântico chamado tunelamento ou penetração quântica.
  • Você consegue lembrar: apesar de o clássico proibir, a mecânica quântica permite “cauda” da gaussiana fora dos pontos de inversão. Isso é exatamente o que calculamos aqui. Força aí — esse tipo de integral gaussiana e a relação com \operatorname{erf}/\operatorname{erfc} costuma cair em prova!

Resposta

\operatorname{erfc}(1)\approx0,157299

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