Use a Relação de Indeterminação de Heisenberg, para a obter o valor mínimo da energia
de uma partícula de massa
que executa um movimento do tipo
onde a constante elástica é
.
Passo 1
O enunciado pede para, usando a Relação de Indeterminação de Heisenberg, obter o valor mínimo da energia
de uma partícula de massa
que executa um movimento harmônico simples com constante elástica
. Dados relevantes que temos:
- massa:
; - constante elástica:
(ou seja, o oscilador tem frequência ); - relação de Heisenberg:
.
A pergunta é: qual é o menor valor possível da energia totaldessa partícula, usando a relação de indeterminação?
Passo 2
Escrevemos a energia total clássica (cinética + potencial) do oscilador harmônico em termos de posição
e impulso
:
Aqui
é a energia cinética (com
sendo o impulso) e
é a energia potencial elástica (com
). Na mecânica quântica podemos usar as dispersões (incertezas) para estimar um limite inferior para
: substituímos
por uma típica flutuação
e
por
, obtendo um limite inferior estimado
Explico: em um estado estacionário o valor médio pode ser zero, mas as flutuações
dão contribuições positivas à energia; portanto a expressão acima fornece um limite inferior razoável para
.
Passo 3
Usamos a igualdade otimista da relação de Heisenberg (para estimar o mínimo)
. Assim podemos eliminar
escrevendo
Substituindo em
obtemos uma função de
que serve como limite inferior para a energia:
Passo 4
Simplifico a expressão anterior:
Interpretação: o primeiro termo decresce quando aumentamos
(energia cinética diminui porque impulso fica menor), o segundo termo cresce com
(energia potencial aumenta porque a partícula está mais espalhada). O mínimo de
ocorre num equilíbrio entre esses dois efeitos. Agora vamos minimizar essa função em
.
Passo 5
Calculo a derivada de
em relação a
e igualo a zero para achar o mínimo:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando:
Logo
escolhendo a raiz positiva porque
.
Passo 6
Agora calculo
usando
:
Verifiquei as potências:
.
Passo 7
Agora calculo os dois termos da energia no ponto ótimo e somo:
- termo cinético:
- termo potencial:
Somando os dois:
Portanto, usando a relação de indeterminação e minimizando a energia estimada obtemos
. Isto corresponde ao menor valor possível (energia de ponto zero) compatível com a indeterminação.