Use a Relação de Indeterminação de Heisenberg, para a obter o valor mínimo da energia E_{\min } de uma partícula de massa m que executa um movimento do tipo M H S onde a constante elástica é k=m \omega^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para, usando a Relação de Indeterminação de Heisenberg, obter o valor mínimo da energia E_{\min} de uma partícula de massa m que executa um movimento harmônico simples com constante elástica k=m\omega^{2}. Dados relevantes que temos:
  • massa: m;
  • constante elástica: k=m\omega^{2} (ou seja, o oscilador tem frequência \omega);
  • relação de Heisenberg: \Delta x\,\Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2}.
    A pergunta é: qual é o menor valor possível da energia total E dessa partícula, usando a relação de indeterminação?

Passo 2

Escrevemos a energia total clássica (cinética + potencial) do oscilador harmônico em termos de posição x e impulso p:
E = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}kx^{2}.
Aqui \dfrac{p^{2}}{2m} é a energia cinética (com p sendo o impulso) e \dfrac{1}{2}kx^{2} é a energia potencial elástica (com k=m\omega^{2}). Na mecânica quântica podemos usar as dispersões (incertezas) para estimar um limite inferior para E: substituímos p por uma típica flutuação \Delta p e x por \Delta x, obtendo um limite inferior estimado
E \gtrsim \frac{(\Delta p)^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}(\Delta x)^{2}.
Explico: em um estado estacionário o valor médio pode ser zero, mas as flutuações \Delta x,\Delta p dão contribuições positivas à energia; portanto a expressão acima fornece um limite inferior razoável para E.

Passo 3

Usamos a igualdade otimista da relação de Heisenberg (para estimar o mínimo) \Delta x\,\Delta p = \dfrac{\hbar}{2}. Assim podemos eliminar \Delta p escrevendo
\Delta p = \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Substituindo em E obtemos uma função de \Delta x que serve como limite inferior para a energia:
E(\Delta x) = \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{2\Delta x}\right)^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}(\Delta x)^{2}.

Passo 4

Simplifico a expressão anterior:
E(\Delta x) = \frac{\hbar^{2}}{8m(\Delta x)^{2}} + \frac{1}{2}m\omega^{2}(\Delta x)^{2}.
Interpretação: o primeiro termo decresce quando aumentamos \Delta x (energia cinética diminui porque impulso fica menor), o segundo termo cresce com \Delta x (energia potencial aumenta porque a partícula está mais espalhada). O mínimo de E(\Delta x) ocorre num equilíbrio entre esses dois efeitos. Agora vamos minimizar essa função em \Delta x>0.

Passo 5

Calculo a derivada de E(\Delta x) em relação a \Delta x e igualo a zero para achar o mínimo:
\frac{dE}{d(\Delta x)} = -\frac{\hbar^{2}}{4m(\Delta x)^{3}} + m\omega^{2}(\Delta x) = 0.
Rearranjando:
m\omega^{2}(\Delta x) = \frac{\hbar^{2}}{4m(\Delta x)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (\Delta x)^{3} e isolando:
m^{2}\omega^{2}(\Delta x)^{4} = \frac{\hbar^{2}}{4}.
Logo
(\Delta x)^{4} = \frac{\hbar^{2}}{4m^{2}\omega^{2}} \quad\Rightarrow\quad (\Delta x)^{2} = \frac{\hbar}{2m\omega},
escolhendo a raiz positiva porque \Delta x>0.

Passo 6

Agora calculo \Delta p usando \Delta p = \dfrac{\hbar}{2\Delta x}:
\Delta p = \frac{\hbar}{2}\cdot\frac{1}{\Delta x} = \frac{\hbar}{2}\cdot\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}} = \sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}.
Verifiquei as potências: \left(\Delta p\right)^{2} = \dfrac{\hbar m\omega}{2}.

Passo 7

Agora calculo os dois termos da energia no ponto ótimo e somo:
  • termo cinético:
\frac{(\Delta p)^{2}}{2m} = \frac{1}{2m}\cdot\frac{\hbar m\omega}{2} = \frac{\hbar\omega}{4};
  • termo potencial:
\frac{1}{2}m\omega^{2}(\Delta x)^{2} = \frac{1}{2}m\omega^{2}\cdot\frac{\hbar}{2m\omega} = \frac{\hbar\omega}{4}.
Somando os dois:
E_{\min} = \frac{\hbar\omega}{4} + \frac{\hbar\omega}{4} = \frac{\hbar\omega}{2}.
Portanto, usando a relação de indeterminação e minimizando a energia estimada obtemos E_{\min}=\dfrac{\hbar\omega}{2}. Isto corresponde ao menor valor possível (energia de ponto zero) compatível com a indeterminação.

Resposta

E_{\min}=\frac{1}{2}\hbar\omega

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