Questão 5
Atenção às instruções:
  • adote \hbar=1,054 \times 10^{-34} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e \pi=3.1416 em todos os cálculos.
  • Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais o ponto ( . ), assim, por exemplo, valor 3.45 \times 10^{-5}=3.45 E-5.
  • Não é necessário indicar unidades na sua resposta.
Em um experimento de dupla fenda, um elétron, com comprimento de onda \lambda=0.037 m , incide sobre um sistema composto por fendas com tamanho 9.4E-5 m. Suponha que o experimento tenha uma configuração na qual as fendas são paralelas ao eixo y, de tal forma que o ângulo \theta entre o eixo x e o momento do fóton é o parâmetro relevante para analisarmos a ocorrência de máximos e mínimos de interferência, segundo a Lei de Bragg ( 2 d \operatorname{seno}(\theta)=n \lambda ).
Determine a incerteza mínima no momento do elétron, admitindo que para detectar a posição do elétron você deva conhecer suas posição com uma incerteza menor ou igual a d / 2
\square
Considerando a configuração do sistema, podemos construir um triângulo retângulo com \vec{p} sendo a hipotenusa e \overrightarrow{p_{y}} o cateto oposto, de tal forma que \operatorname{sen}(\theta)=\left|\overrightarrow{p_{y}} / \vec{p}\right|, ou, no caso de ângulos pequenos \theta=\left|\overrightarrow{p_{y}} / \vec{p}\right|, determine a incerteza no ângulo \theta.
$\square

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Comprimento de onda do elétron: \lambda=0.037.
  • Largura (tamanho) da fenda: d=9.4\mathrm{E}{-5} (ou seja, d=9{,}4\times10^{-5}).
  • Constante de Planck reduzida: \hbar=1.054\times10^{-34}.
  • Use \pi=3.1416 quando necessário.
  • Para detectar a posição do elétron é preciso conhecê-la com incerteza menor ou igual a d/2. Logo, assumimos \Delta y = d/2.
  • A relação relevante entre ângulo e momento é (da figura/descrição): \sin(\theta)=\left|\dfrac{p_y}{p}\right|. Para ângulos pequenos podemos aproximar \theta\approx\left|\dfrac{p_y}{p}\right|.
O que pedir:
  1. Determinar a incerteza mínima no momento do elétron dada a condição \Delta y \le d/2.
  2. Determinar a incerteza no ângulo \theta usando a aproximação \theta\approx p_y/p.

Passo 2

Princípio da incerteza de Heisenberg aplicado à posição e componente do momento na direção y:
A forma usual do princípio é
\Delta y\,\Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui:
  • \Delta y é a incerteza na posição (no eixo perpendicular às fendas),
  • \Delta p_y é a incerteza na componente y do momento.
Interpretação simples: para conhecer a posição com precisão \Delta y você necessariamente cria uma incerteza mínima em p_y. Para achar a incerteza mínima devemos tomar a situação de limite, isto é, a igualdade aproximada.

Passo 3

Usando a igualdade limite do princípio da incerteza e a condição \Delta y = d/2:
\Delta y\,\Delta p_y = \frac{\hbar}{2} \quad\Rightarrow\quad \Delta p_y = \frac{\hbar}{2\Delta y}.
Substituindo \Delta y = d/2:
\Delta p_y = \frac{\hbar}{2\cdot (d/2)}=\frac{\hbar}{d}.
Portanto, a incerteza mínima na componente do momento (transversal) é \Delta p_y^{\min}=\dfrac{\hbar}{d}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \Delta p_y^{\min}. Substituindo \hbar=1.054\times10^{-34} e d=9.4\times10^{-5}:
\Delta p_y^{\min}=\frac{1.054\times10^{-34}}{9.4\times10^{-5}}.
Faço passo a passo a conta de potência:
\frac{1.054}{9.4}=0.1121702128\quad\text{e}\quad 10^{-34}/10^{-5}=10^{-29},
logo
\Delta p_y^{\min}\approx 0.1121702128\times10^{-29}=1.121702128\times10^{-30}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta p_y^{\min}\approx 1.1217\times10^{-30}.

Passo 5

Agora precisamos do momento total p do elétron (módulo do momento), dado o comprimento de onda \lambda. Pela relação de De Broglie:
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}.
Explico rápido: h é a constante de Planck e h=2\pi\hbar; a relação de Broglie diz que comprimento de onda \lambda está ligado ao momento por p=h/\lambda.

Passo 6

Calculemos numericamente p usando \hbar=1.054\times10^{-34}, \pi=3.1416 e \lambda=0.037:
p=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}=\frac{2\cdot3.1416\cdot1.054\times10^{-34}}{0.037}.
Calculo intermediário:
2\pi\hbar=6.2832\times1.054\times10^{-34}=6.6224928\times10^{-34},
e então
p=\frac{6.6224928\times10^{-34}}{0.037}=1.789863\times10^{-32}.
Arredondando:
p\approx 1.7899\times10^{-32}.

Passo 7

Relação entre \theta e p_y para ângulos pequenos: \theta\approx p_y/p. Assim, a incerteza em \theta (assumindo p conhecido com muito mais precisão que p_y) é obtida por:
\Delta\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}.
Substituindo os valores numéricos calculados:
\Delta\theta \approx \frac{1.121702128\times10^{-30}}{1.789863\times10^{-32}} \approx 62{,}68.
Ou seja, numericamente,
\Delta\theta \approx 62{,}68\\ \text{(radianos)}.

Passo 8

Interpretação curta (pra te animar): esse \Delta\theta é enorme (muito maior que 1 radiano), então a medição da posição com a precisão exigida faz com que a direção do momento fique praticamente indeterminada — explica por que é difícil obter um padrão de interferência bem definido quando tentamos “marcar” qual fenda o elétron passou. Força aí — a conta mostra diretamente o trade-off posição vs. direção.

Resposta

1.1217\times10^{-30}\n
62.68

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