Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m=15 \mathrm{~kg} e rigidez k=600 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de amplitude F_{0}=30 \mathrm{~N} e freqüência:
\omega=500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico não amortecido de massa m=15\:\mathrm{kg} e rigidez k=600\:\mathrm{kN/m} sujeito a uma força harmônica de amplitude F_{0}=30\:\mathrm{N} e frequência \omega=500\:\mathrm{rad/s}. Queremos a amplitude X da resposta no regime estacionário. Para isso usaremos a fórmula da amplitude de um sistema massa-mola sem amortecimento:
X = \frac{F_{0}}{\bigl|k - m\,\omega^{2}\bigr|}.

Passo 2

Primeiro convertemos a rigidez para unidades consistentes no SI.
k = 600\:\mathrm{kN/m} = 600\,000\:\mathrm{N/m}.

Passo 3

Vamos verificar a frequência natural do sistema para garantir que não estamos em ressonância:
\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{600\,000}{15}} = \sqrt{40\,000} = 200\:\mathrm{rad/s}.
Como \omega=500\:\mathrm{rad/s}\ne\omega_{n}, não há ressonância exata.

Passo 4

Calculamos a rigidez dinâmica \bigl|k - m\,\omega^{2}\bigr|:
m\,\omega^{2} = 15 \times (500)^{2} = 15 \times 250\,000 = 3\,750\,000\:\mathrm{N/m},
\bigl|k - m\,\omega^{2}\bigr| = \bigl|600\,000 - 3\,750\,000\bigr| = 3\,150\,000\:\mathrm{N/m}.

Passo 5

Finalmente, a amplitude da resposta é
X = \frac{F_{0}}{3\,150\,000} = \frac{30}{3\,150\,000} \approx 9{,}52\times10^{-6}\:\mathrm{m}.

Resposta

A amplitude da resposta no regime estacionário é aproximadamente 9{,}52\times10^{-6}\:\mathrm{m}.

Exercícios relacionados